Phi_nを調和振動子の正しく正規化されたn番目のエネルギー固有関数とし、psi = hatahata ^（†）phi_nとします。 psiとは何ですか？

調和振動子ハミルトニアンを考えてみましょう。

#hatH =ハット^ 2 /（2μ）+ 1 /2μメガ^ 2 2進^ 2#

#= 1 /（2μ）（hat ^ 2 + mu ^2ω^ 2 hatx ^ 2）#

それでは、代入を定義します。

#hatx "'" = hatxsqrt（muomega）##' '' '' '##hatp "'" = hatp / sqrt（muomega）#

これは与える：

#hatH = 1 /（2mu）（ハット "'" ^ 2 cdot muomega + mu ^2ω^ 2（hatx "'" ^ 2）/（muomega））#

#=オメガ/ 2（hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2）#

次に、置換を考えてみましょう。

#hatx "''" =（hatx "'"）/ sqrt（ℏ）##' '' '' '##hatp "''" =（hatp "'"）/ sqrt（ℏ）#

そのため #hatx "''"、hatp "''" = hatx "''" hatp "''" - hatp "''" hatx "''" = i#。これは与える：

#hatH =オメガ/ 2（hatp "''" ^2cdotℏ+ hatx "''" ^2cdotℏ）#

#= 1 /2ℏomega（hatp "''" ^ 2 + hatx "''" ^ 2）#

以来 #hat "''" ^ 2# そして #hatx "''" ^ 2# はしご演算子を定義して、複素共役の積に分解することができます

#hata =（hatx "''" + ihatp "''"）/ sqrt2##' '' '' '##hata ^（†）=（hatx "''" - ihatp "''"）/ sqrt2#

そのため：

#hatahata ^（†）=（hatx "''" ^ 2 - ihatx "''" hatp "''" + ihatp "''" hatx "''" + hatp "''" ^ 2）/ 2#

#=（hatx "''" ^ 2 + hatp "''" ^ 2）/ 2 +（i hatp "''"、hatx "''"）/ 2#

以来 # - hatx "''"、hatp "''" = hatp "''"、hatx "''" = -i#、一番右の用語は #1/2#。検査により、

#hatH =オメガ（hatahata ^（†） - 1/2）#

それはそれを示すことができます #ハタ、ハタ^（†） = 1#、 そう

#ハタハタ^（†） - ハタ^（†）ハタ= 1#

#=>ハタハタ^（†）= 1 +ハタ^（†）ハタ#

など：

#色（緑）（hatH =ℏomega（hata ^（†）hata + 1/2））#

ここでは、 エネルギー することが：

#E_n =ω（n + 1/2）#

それはこの形式から明らかであるので

#hatHphi_n = Ephi_n#,

それだけです

#オメガ（ハタ^（†）ハタ+ 1/2）phi_n =オメガ（n + 1/2）phi_n#

したがって、 数演算子 次のように定義できます。

#hatN =ハタ^（†）ハタ#

その固有値が量子数である #n# その固有状態のために。

だから、

#色（青）（psi_n = hatahata ^（†）phi_n）#

#=（1 +ハタ^（†）ハタ）phi_n#

#=（1 +ハットN）phi_n#

#=色（青）（（1 + n）phi_n）#