式x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0が[0、1]の厳密に1つの解を持つことを示しますか？

回答：

下記参照。

まず、計算しましょう #f（x）= x ^ 4 + 2x ^ 2-2# 私たちのドメインの境界で：

#f（0）= 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0#

#f（1）= 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0#

導関数を計算すると

#f '（x）= 4x ^ 3 + 4x = 4x（x ^ 2 + 1）#

我々はそれが常にポジティブであることがわかります #0,1#。実際には、 #x ^ 2 + 1# 常に正であり、 #4x# というのは明らかに前向きです #バツ# ポジティブです。

つまり、私たちの機能は #バツ# 軸、 #f（0）<0#、そしての上で終わる #バツ# 軸、 #f（1）> 0#。この関数は多項式なので、連続的です。

実線が軸の下から始まって上で終わる場合、それはそれがその間のどこかでそれを横切ったにちがいないことを意味します。そして導関数が常に正であるという事実は、関数が常に成長しているということを意味します、そしてそれでそれは軸を二度横切ることができない、それ故証明です。