図に示すように、半径Ｒの所与の円内に半径ｒの３つの等しい円がそれぞれ他の２つと所与の円に接すると考えると、陰影を付けた領域の面積はΔに等しい。

陰影を付けた領域の面積を次のように表現できます。

#A_ "網掛け" = piR ^ 2 - 3（pir ^ 2）-A_ "中心"#

どこで #A_ "センター"# 3つの小さい円の間の小さい部分の面積です。

この領域を見つけるために、3つの小さい白い円の中心を結ぶことによって三角形を描くことができます。各円の半径は #r#三角形の各辺の長さは #2r# そして三角形は正三角形なので角度は #60 ^ o# 各。

したがって、中央領域の角度は、この三角形の面積から円の3つの扇形を引いたものです。三角形の高さは単純です #sqrt（（2r）^ 2-r ^ 2）= sqrt（3）r ^#つまり、三角形の面積は #1/2 *ベース*高さ= 1/2 * 2r * sqrt（3）r = sqrt（3）r ^ 2#.

この三角形内の3つの円セグメントの面積は、1つの円の半分と本質的に同じ面積です（角度が #60 ^ o# それぞれ、または #1/6# 円なので、これらのセクターの総面積は #1/2 pir ^ 2#.

最後に、中央領域の面積を #sqrt（3）r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2（sqrt（3）-pi / 2）#

したがって、元の表現に戻ると、網掛けの領域の面積は

#piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2（sqrt（3）-pi / 2）#

回答：

#A = r ^ 2（1/6（8 sqrt（3） - 1）pi - sqrt（3））#

説明：

白い円の半径を #r = 1#。中心は辺の正三角形を形成します #2#。各中央値/高度は #sqrt {3}# 頂点から重心までの距離は #2/3平方{3}#.

重心は大きな円の中心であるため、大きな円の中心と小さな円の中心の間の距離です。少し半径を追加します。 #r = 1# 取得するため

#R = 1 + 2/3平方{3}#

私たちが求める面積は、大きな円の面積から正三角形を引いたもので、残りのものは残ります。 #5/6# それぞれの小さな円の。

#A = pi R ^ 2 - 3（5/6 pi r ^ 2） - sqrt {3} / 4（2r）^ 2#

#A = pi（1 + 2/3 sqrt {3}）^ 2 - 3（5/6 pi） - sqrt {3}#

#A = 1/6（8 sqrt（3） - 1）pi - sqrt（3）#

拡大縮小 #r ^ 2# 一般に。