[-pi、pi]のthetaに対するr = 3 / 4thetaのアーク長さはいくらですか？

回答：

#L = 3 / 4pisqrt（pi ^ 2 + 1）+ 3 / 4ln（pi + sqrt（pi ^ 2 + 1））# 単位

説明：

#r = 3/4シータ#

#r ^ 2 = 9 /16θ^ 2#

#r '= 3/4#

#（r '）^ 2 = 9/16#

Arclengthは：

#L =整数_π^ pisqrt（9 /16θ^ 2 + 9/16）dθ#

簡素化する：

#L = 3 /4int_π^ pisqrt（θ^ 2 + 1）dθ#

対称性から：

#L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt（theta ^ 2 + 1）d theta#

置換を適用する #theta = tanphi#:

#L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi#

これは既知の積分です。

#L = 3/4 secphitanphi + ln | secphi + tanphi |#

代入を逆にします。

#L = 3/4 thetasqrt（theta ^ 2 + 1）+ ln | theta + sqrt（theta ^ 2 + 1）| _0 ^ pi#

統合の限界を挿入する：

#L = 3 / 4pisqrt（pi ^ 2 + 1）+ 3 / 4ln（pi + sqrt（pi ^ 2 + 1））#