どうやってroot3（1）を単純化しますか？

回答：

#1# または #1^(1/3)# =#1#

説明：

1の立方根は、1の累乗で1を上げるのと同じです。 #1/3#。 1の何のべき乗もまだ1です。

回答：

私たちが得た現実の中で働く #root 3 {1} = 1#.

すべての非ゼロ複素数には3つの立方根があります。

#root 3 {1} = 1または-1/2 pm i sqrt {3} / 2#

説明：

実数で作業しているのであれば、 #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1#。これは複素数に関するものだと思います。

複素数を調べたときに見つけた奇妙なことの1つは、次の関数です。 #f（z）= e ^ {z}# 周期的です。指数関数的成長は周期的なのとは逆のようなものであるため、これは驚きです。

重要な事実はオイラーのアイデンティティの二乗です。私はそれを呼ぶ オイラーの真のアイデンティティー

#e ^ {2 pi i} = 1#

オイラーの真のアイデンティティーショー #e ^ z# 周期と周期的です #2pi私#:

#f（z + 2pi i）= e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f（z）#

オイラーの真のアイデンティティーを任意の整数乗に上げることができます #k#:

#e ^ {2 pi k i} = 1#

これが1の立方根とどうなるのでしょうか。それが鍵です。それは1を書くのに無数の方法があることを伝えます。それらのいくつかは他のものとは異なる立方根を持っています。整数でない指数が複数の値を生み出すのはそのためです。

それはすべて大きなワインドアップです。通常、私はこれらを書くことから始めます。

#e ^ {2pi k i} = 1クアッド# 整数の場合 #k#

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} =（e ^ {2 pi ki}）^ {1/3} = e ^ {i {2 pi k} / 3} = cos（2 pi k） / 3）+ i sin（2πk / 3）#

最後のステップはもちろんオイラーの公式です #e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta#

我々は持っているので #2pi# 三角関数の周期性（これは指数関数とオイラーの公式の周期性から成り立っています）には3つの連続した値に対する唯一の値があります。 #k#ｓ。これを評価しましょう #k = 0,1、-1#:

#k#=0#quad quad cos（{2πk} / 3）+ i sin（{2πk} / 3）= cos 0 + i sin 0 = 1#

#k#=1#quad quad cos（{2pi} / 3）+ i sin（{2pi} / 3）= -1 / 2 + i sqrt {3} / 2#

#k#=-1#quad quad cos（ - {2pi} / 3）+ i sin（ - {2pi} / 3）= -1 / 2 - i sqrt {3} / 2#

それで、我々は1の立方根に対して3つの値を得ます：

#root 3 {1} = 1または-1/2 pm i sqrt {3} / 2#