回答：
説明を参照してください…
説明：
もし #p = q = r# その後：
#px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p#
だから彼らが持っているすべてのゼロは共通になるでしょう。
これらの条件は必須ではないことに注意してください。
例えば、 #p = 0#, #q！= 0# そして #r！= 0# その後：
#px ^ 2 + qx + r = 0# 根がある #x = -r / q#
#qx ^ 2 + rx + p = 0# ルーツがあります #x = -r / q# そして #x = 0#
そのため、2つの方程式には共通点がありますが、 #p！= q# そして私達は要求しない #p + q + r = 0#.
回答：
下記を参照してください。
説明：
として #px ^ 2 + qx + r = 0# そして #qx ^ 2 + rx + p = 0# 共通の根を持って、この根にさせなさい #アルファ#。それから
#パルファ^ 2 + qalpha + r = 0# そして #qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0#
それゆえ #alpha ^ 2 /（pq-r ^ 2）= alpha /（qr-p ^ 2）= 1 /（pr-q ^ 2）#
そして #アルファ=（qr-p ^ 2）/（pr-q ^ 2）# そして #alpha ^ 2 =（pq-r ^ 2）/（pr-q ^ 2）#
すなわち #（qr-p ^ 2）^ 2 /（pr-q ^ 2）^ 2 =（pq-r ^ 2）/（pr-q ^ 2）#
または #（qr-p ^ 2）^ 2 =（pq-r ^ 2）（pr-q ^ 2）#
または #q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2#
または #p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0# とで割る #p#
または #p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0#
すなわち #（p + q + r）（p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp）= 0#
だからどちらか #p + q + r = 0# または #p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0#
それを観察する #alpha ^ 2 /（pq-r ^ 2）= alpha /（qr-p ^ 2）= 1 /（pr-q ^ 2）#
#alpha ^ 2 /（pq-r ^ 2）= alpha /（qr-p ^ 2）= 1 /（pr-q ^ 2）=（alpha ^ 2 + alpha + 1）/（p ^ 2 + q ^） 2 + r ^ 2-pq-qr-rp）#
で、もし #p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0#、 我々は持っています #alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0# すなわち #p = q = r#
