三角形Aの面積は15で、長さは4と9です。三角形Bは三角形Aと似ており、一辺の長さは7です。三角形Bの最大面積と最小面積はいくつですか？

回答：

周りの可能な3番目の側面があります #11.7# 三角形Aの場合。これが7になると、次の最小面積が得られます。 #735 /（97 + 12平方メートル（11））#.

一辺の長さ #4# にスケーリング #7# 最大面積は #735/16.#

説明：

これはおそらく最初に現れるよりもトリッキーな問題です。誰もがこの問題に必要と思われる3番目の側面を見つける方法を知っていますか？通常のトリガは通常角度を計 算し、何も要求されていない場合は近似値を作成します。

それは実際には学校で教えられていませんが、最も簡単な方法はアルキメデスの定理、ヘロンの定理の現代形です。 Aのエリアと呼びましょう #A# そしてそれをAの側面に関連づける #a、b# そして #c。#

#16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - （c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2）^ 2#

#c# 一度だけ現れるので、それは私たちの未知数です。それを解決しましょう。

#（c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2）^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2#

#c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pm sqrt {4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2}#

我々は持っています #A = 15、a = 4、b = 9#

#c ^ 2 = 4 ^ 2 + 9 ^ 2 pm sqrt {4（4 ^ 2）（9 ^ 2） - 16（15）^ 2} = 97 pm sqrt {1584}#

#c = sqrt {97 pm 12 sqrt {11}}#

#c約11.696または7.563#

それは2つの異なる値です #c#それぞれが面積の三角形を生み出すはずです #15#。プラス記号の1つは他の2つの側面より大きいので私達にとって興味があります。

最大面積、最大スケーリングの場合は、最小の側面が #7#のスケール係数 #7/4# 新しい面積（これは倍率の二乗に比例します） #(7/4)^2(15) = 735/16#

最小面積の場合、最大辺は #7# の新しい分野

#15（7 /（sqrt {97 + 12 sqrt {11}}））^ 2 = 735 /（97 + 12 sqrt（11））#