Xが無限大に近づくにつれて（ln x）^（1 / x）の極限をどのように見つけますか？

回答：

#lim_（xrarroo）（ln（x））^（1 / x）= 1#

説明：

可変指数を扱うとき、私たちはかなり一般的なトリックから始めます。何かの自然対数を取り、それを指数関数の指数として上げることができます。これは逆の操作なので、その値を変えることはしません。しかし、それは対数の規則を有益な方法で使うことを可能にします。

#lim_（xrarroo）（ln（x））^（1 / x）= lim_（xrarroo）exp（ln（（ln（x））^（1 / x）））#

ログの指数規則を使用する：

#= lim_（xrarroo）exp（1 / xln（ln（x）））#

次のように変化するのは指数であることに注意してください。 #xrarroo# それで私達はそれに焦点を合わせ、指数関数を外側に動かすことができます：

#= exp（lim_（xrarroo）（ln（ln（x））/ x））#

自然対数関数の振る舞いを見ると、xは無限大になる傾向があるため、関数の値も非常にゆっくりとはいえ無限大になる傾向があることがわかります。とるとき #ln（ln（x））# 対数関数の中には非常にゆっくりと無限になる傾向がある変数があります。つまり、全体的に非常にゆっくりと無限になる傾向があるということです。下のグラフは、 #x = 1000# しかし、それは非常に遅い成長を示しています #ln（ln（x））# の遅い成長と比較しても #ln（x）#.

この振る舞いから、私たちはそれを推測することができます #バツ# ははるかに速い漸近的成長を示し、指数の限界はゼロになります。 #color（青）（ "これは全体的な制限= 1を意味します。"#

この点にもロピタルの法則で取り組むことができます。限界を不定形式にする必要があります。 #0/0またはoo / oo# だから私たちはこれが事実であることを確認します。

#lim_（xrarroo）ln（ln（x））= ln（ln（oo））= ln（oo）= oo#

#lim_（xrarroo）x = oo#

これは確かに当てはまるので、制限は次のようになります。

#= exp（lim_（xrarroo）（（d /（dx）（ln（ln（x））））/（d /（dx）x）））#

差別化する #y = ln（ln（x））# 私たちが持っていることを認識 #y（u（x））# そして連鎖ルールを使う

#（dy）/（dx）=（dy）/（du）（du）/（dx）#

#u = ln（x）は（du）/（dx）= 1 / xを意味します。#

#y = ln（u）は（dy）/（du）= 1 / u = 1 /（ln（x））#を意味します。

#したがって、（dy）/（dx）= 1 /（ln（x））* 1 / x = 1 /（xln（x））#

の派生物 #バツ# です #1#。制限は次のようになります。

#= exp（lim_（xrarroo）（（1 /（xln（x）））/ 1））= exp（lim_（xrarroo）（1 /（xln（x））））#

分母の両方の関数は無限大になる傾向があるので、

#exp（1 / oo）= exp（0）= 1#