（0、0、8）と（9、2、0）の間の距離は？

回答：

距離は #sqrt（149）#

説明：

2点間の距離

#（x_1、y_1、z_1）#

そして

#（x_2、y_2、z_2）#

に #RR ^ 3# （3次元）は

# "距離" = sqrt（（x_2-x_1）^ 2 +（y_2-y_1）^ 2 +（z_2-z_1）^ 2）#

これを当面の問題に適用すると、次のようになります。 #(0, 0, 8)# そして #(9, 2, 0)# として

# "距離" = sqrt（（9-0）^ 2 +（2-0）^ 2 +（0-8）^ 2）= sqrt（81 + 4 + 64）= sqrt（149）#

以下は、距離の公式がどこから来るのかについての説明であり、上記の解を理解するのに必要ではない。

上記の距離の公式は、疑わしい点での距離の公式と似ています。 #RR ^ 2# （二次元）：

# "距離" = sqrt（（x_2-x_1）^ 2 +（y_2-y_1）^ 2）#

これはピタゴラスの定理を単純に適用したもので、2つの点の間に直角三角形を描きます。 #バツ# そして #y# 軸。

結局のところ、 #RR ^ 3# versionも同様の方法で導出できます。 2点を結ぶのに（最大でも）3本の線を使って、 #バツ#, #y#、そして #z# 座標軸、対角となる点を含むボックスが得られます。それでは、箱の対角線上の距離を計算する方法を考えましょう。

赤い線の長さを把握しようとしています #色（赤）（西暦）#

これが三角形の斜辺です #ABD#、ピタゴラスの定理から：

#（色（赤）（AD））^ 2 =（AB）^ 2 +（色（青）（BC））^ 2#

#=>色（赤）（AD）= sqrt（（AB）^ 2 +（色（青）（BC））^ 2） "（i）"#

残念ながら、私たちは長さを持っていません #色（青）（BD）# 与えられたように。それを得るために、我々は再びピタゴラスの定理、今度は三角形に適用しなければならない #BCD#.

#（色（青）（BD））^ 2 =（BC）^ 2 +（CD）^ 2 "（ii）"#

必要なので #色（青）（BD）#、私達は今取り替えることができます #（ "ii"）# に #（"私"）#:

#色（赤）（AD）=平方根（（AB）^ 2 +（BC）^ 2 +（CD）^ 2）#

最後に、 #A# で #（x_1、y_1、z_1）# そして #D# で #（x_2、y_2、z_2）#それで、長さがあります

#CD = | x_2 - x_1 |#

#BC = | y_2 - y_1 |#

#AB = | z_2 - z_1 |#

これらを上記に代入すると、望ましい結果が得られます。

特筆すべきは、3次元までの幾何学的証明しか簡単にできないが、数学者は距離を一般化したものである。 #RR ^ n# (#n# 寸法）。間の距離

#（x_1、x_2、…、x_n）# そして #（y_1、y_2、…、y_n）# と定義されている

#sqrt（sum_（k = 1）^ n（y_k - x_k）^ 2）#

のパターンと一致する #RR ^ 2# そして #RR ^ 3#.