回答：
#sinh（1/2）~~ 0.52#
説明：
我々はの定義を知っています #sinh（x）#:
#sinh（x）=（e ^ x-e ^ -x）/ 2#
我々はMaclaurinシリーズを知っているので #e ^ x#それを使って次のものを作ることができます #sinh（x）#.
#e ^ x = sum_（n = 0）^ oox ^ n /（n！）= 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 /（3！）…#
私達はのためのシリーズを見つけることができます #e ^ -x# 取り替えることによって #バツ# と #-バツ#:
#e ^ -x = sum_（n = 0）^ oo（-x）^ n /（n！）= sum_（n = 0）^ oo（-1）^ n /（n！）x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 /（3！）…#
これら2つを引き算して、の分子を見つけることができます。 #シン# 定義：
#color（白）（ - e ^ -x）e ^ x =色（白）（….）1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 /（3！）+ x ^ 4 / （4！）+ x ^ 5 /（5！）…#
#色（白）（e ^ x）-e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 /（3！） - x ^ 4 /（4！）+ x ^ 5 /（5！ ）…#
#e ^ xe ^ -x =色（白）（lllllllll）2x色（白）（lllllllll）+（2x ^ 3）/（3！）色（白）（lllllll）+（2x ^ 5）/（5！ ）…#
偶数の項はすべてキャンセルされ、奇数の項はすべて2倍になります。このパターンを次のように表すことができます。
#e ^ x-e ^ -x = sum_（n = 0）^ oo 2 /（（（2n + 1）！）x ^（2n + 1）#
を完了する #sinh（x）# シリーズでは、これを次の式で割るだけです。 #2#:
#（e ^ x-e ^ -x）/ 2 = sinh（x）= sum_（n = 0）^ oo cancel2 /（cancel2（2n + 1）！）x ^（2n + 1）=#
#= sum_（n = 0）^ oo x ^（2n + 1）/（（2n + 1）！）= x + x ^ 3 /（3！）+ x ^ 5 /（5！）…#
今計算したい #f（1 / 2）# 少なくともの精度で #0.01#。この一般形式のラグランジュ誤差は、次のn次テイラー多項式の範囲であることがわかります。 #x = c#:
#| R_n（x）| <= | M /（（n + 1）！）（x-c）^（n + 1）|# どこで #M# からの区間のn階導関数の上限 #c# に #バツ#.
私たちの場合、拡張はMaclaurinシリーズです。 #c = 0# そして #x = 1 / 2#:
#| R_n（x）| <= | M /（（n + 1）！）（1/2）^（n + 1）|#
の高次導関数 #sinh（x）# どちらかになります #sinh（x）# または #cosh（x）#。それらの定義を検討すると、 #cosh（x）# 常により大きくなります #sinh（x）#なので、 #M#-行き #cosh（x）#
双曲線余弦関数は常に増加しているので、区間の最大値は次のようになります。 #1 / 2#:
#sinh（1/2）=（e ^（1/2）+ e ^（ - 1/2））/ 2 =（sqrte + 1 / sqrte）/ 2 = sqrte / 2 + 1 /（2sqrte）= M #
今度はこれをLagrange誤差範囲に差し込みます。
#| R_n（x）| <=（sqrte / 2 + 1 /（2sqrte））/（（n + 1）！）（1/2）^（n + 1）#
欲しい #| R_n（x）|# より小さい #0.01#だから、私たちはいくつか試してみます #n# その点に到達するまでの値（多項式の項の数が少ないほど良い）。それがわかります #n = 3# より小さな誤差範囲を与える最初の値です。 #0.01#したがって、3次テイラー多項式を使用する必要があります。
#sinh（1/2）~~ sum_（n = 0）^ 3（1/2）^（2n + 1）/（（2n + 1）！）= 336169/645120 ~~ 0.52#
