回答：
#a ^ 8 + b ^ 8 = prod_（k = 0）^ 7（a - | b | e ^（ipi（2k + 1）/ 8））# にとって RR#の#b
#a ^ 8 + b ^ 8 = prod_（k = 0）^ 7（a - | b | e ^（ipi（theta / pi +（2k + 1）/ 8）））# にとって CC#の#b = | b | e ^（itheta）
説明：
代数の基本定理によって、与えられた式を次のように因数分解することができます。
#a ^ 8 + b ^ 8 = prod_（k = 1）^ 8（a-alpha_k）#
それぞれどこ #alpha_k# の根です #x ^ 8 + b ^ 8#.
を解決する #alpha_k#、 我々が得る
#x ^ 8 + b ^ 8 = 0#
#=> x ^ 8 = -b ^ 8#
#=> x =（-b ^ 8）^（1/8）#
#= | b |（-1）^（1/8）# （仮定 RR#の#b)
#= | b |（e ^（i（pi + 2pik）））^（1/8）#
#= | b | e ^（ipi（（2k + 1）/ 8）、ZZのk#
として #0 {1、1、2、3、4、5、6、7} #k# その形式のすべての一意の値を考慮すると、分解は次のようになります。 RR#の#b
#a ^ 8 + b ^ 8 = prod_（k = 0）^ 7（a - | b | e ^（ipi（2k + 1）/ 8））#
より一般的な CC#の#bそれから、 #b = | b | e ^（itheta）#、我々は見つけるために同様の計算を通過することができます
#（ - b ^ 8）^（1/8）= | b | e ^（ipi（theta / pi +（2k + 1）/ 8））#
意味
#a ^ 8 + b ^ 8 = prod_（k = 0）^ 7（a - | b | e ^（ipi（theta / pi +（2k + 1）/ 8）））#
すみません、私は若干の細部を見逃します、senteによって提供された答えは正しいです。
想定して #b ne 0# そして RR#の#a、b 我々は持っています
#（a / b）^ 8 = -1 = e ^（ipi + 2kpi）# それから
#a / b = e ^（i（2k + 1）pi / 8）# それから
#a-b e ^（i（2k + 1）pi / 8）= 0# です #k = 0,1、cdots、7# 根や要因。
定義する
#p（k）= a - be ^（i（2k + 1）pi / 8）#
その後
#f_1 = p（1）p（6）= a ^ 2 - （sqrt 2 - sqrt 2）a b + b ^ 2#
#f_2 = p（2）p（5）= a ^ 2 +（sqrt 2 - sqrt 2）a b + b ^ 2#
#f_3 = p（3）p（4）= a ^ 2 +（sqrt 2 + sqrt 2）a b + b ^ 2#
#f_4 = p（0）p（7）= a ^ 2 - （sqrt 2 + sqrt 2）a b + b ^ 2#
そう
#a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4# 実係数を使って。
