Psi_A（x、0）= sqrt（1/6）phi_0（x）+ sqrt（1/3）phi_1（x）+ sqrt（1/2）phi_2（x）期待値を計算する後の任意の時間t = t_1において、phi_nは無限ポテンシャル井戸のエネルギー固有関数である。E_0に関して答えを書きなさい。

ええと #14 / 5E_1#…そしてあなたが選んだシステムを考えれば、それは次のように表現することはできません。 #E_0#.

この質問には、非常に多くの量子力学規則が破られています。

の #phi_0#無限のポテンシャル井戸解を使っているので、自動的に消えます… #n = 0#、そう #sin（0）= 0#.

そして文脈のために、私達はさせました #phi_n（x）= sqrt（2 / L）sin（（npix）/ L）#…

それは 不可能 で答えを書く #E_0# なぜなら #n = 0# 無限の可能性のためには存在しません。あなたが粒子にしたくない限り 消える 、私はそれを書かなければならない #E_n#, #ｎ１、２、３、．。。 #…
エネルギーは運動の定数、すなわち #（d << E >>）/（dt）= 0#…

だから今…

#Psi_A（x、0）= 1 / sqrt3 sqrt（2 / L）sin（（pix）/ L）+ 1 / sqrt2 sqrt（2 / L）sin（（2pix）/ L）#

期待値は動きの定数なので、私たちは何時に気にしません #t_1# 我々が選択しました。そうでなければ、これは保守的なシステムではありません…

#<< E >> =（<< Psi | hatH | Psi >>）/（<< Psi | Psi >>）= E_n# いくつかのための #ｎ１、２、３、．。。 #

一次元無限ポテンシャル井戸のハミルトニアンは時間に依存しないので、実際には、それがどうなるべきかをすでに知っています…

#hatH =-ℏ^ 2 /（2m）（d ^ 2）/（dx ^ 2）+ 0#

#（delhatH）/（delt）= 0#

そしてその #（e ^（-iE_nt_http：//ℏ））^ "*"（e ^（-iE_nt_http：//ℏ））# 積分の1に行く：

#color（青）（<< E >>）=（1 / 3int_（0）^（L）Phi_1 ^ "*"（x、t）hatHPhi_1（x、t）dx + 1 / 2int_（0）^（ L）Phi_2 ^ "*"（x、t）hatHPhi_2（x、t）dx）/（<< Psi | Psi >>）#

我々が聞かせたところ #Phi_n（x、t）= phi_n（x、0）e ^（-iE_nt_http：//ℏ）#。繰り返しになりますが、すべての位相係数が相殺されます。また、の直交性のために非対角項がゼロになることに注意してください。 #phi_n#.

分母はのノルムです。 #Psi#これは

#sum_i | c_i | ^ 2 =（1 / sqrt3）^ 2 +（1 / sqrt2）^ 2 = 5/6#.

したがって、 #<< Psi | Psi >> = 5/6#。それは与えます：

#=> （1 / sqrt3）^ 2（2 / L）int_（0）^（L）sin（（pix）/ L）キャンセル（e ^（iE_1t_http：//ℏ））-ℏ^ 2 / （2m）（d ^ 2）/（dx ^ 2） sin（（pix）/ L）キャンセル（e ^（-iE_1t_http：//ℏ））dx +（1 / sqrt2）^ 2（2 / L） int_（0）^（L）sin（（2pix）/ L）キャンセル（e ^（iE_2t_http：//ℏ））-ℏ^ 2 /（2m）（d ^ 2）/（dx ^ 2） sin （（2pix）/ L）キャンセル（e ^（-iE_2t_http：//ℏ））dx /（5 // 6）#

導関数を適用します。

#= 6/5 1/3（2 / L）int_（0）^（L）sin（（pix）/ L）ℏ^ 2 /（2m）cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin（（ pix）/ L）dx + 1/2（2 / L）int_（0）^（L）sin（（2pix）/ L）ℏ^ 2 /（2m）cdot（4pi ^ 2）/ L ^ 2 sin（（2pix）/ L）dx#

定数が浮かびます：

#= 6/5 1/3（ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）int_（0）^（L）sin（（pix）/ L）sin（（pix）/ L ）dx + 1/2（4 2 ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）int_（0）^（L）sin（（2pix）/ L）sin（（2pix）/ L）dx #

そしてこの積分は、物理的な理由からその中間にあることが知られています。 #0# そして #L#とは無関係 #n#:

#= 6/5 1/3（ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）L / 2 + 1/2（4ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）L / 2#

#= 6/5 1/3（ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）+ 1/2（4ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）#

#= 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1#

#=色（青）（14/5 E_1）#

回答：

#<E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0#

説明：

エネルギー固有値に対応する各定常状態 #E_n# 位相係数を拾う #e ^ { - iE_n t}# 時間通りに進化します。与えられた状態は ではない 定常状態 - それは異なる固有値に属するエネルギー固有状態の重ね合わせなので。その結果、それは些細ではない方法で時間とともに進化するでしょう。しかし、状態の時間発展を支配するシュレーディンガー方程式は線形であるため、各成分のエネルギー固有関数は独立して発展し、独自の位相係数を持ち上げます。

だから、開始波動関数

#psi_A（x、0）= sqrt（1/6）phi_0（x）+ sqrt（1/3）phi_1（x）+ sqrt（1/2）phi_2（x）#

やがて進化する #t# に

#psi_A（x、t）= sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ { - iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ { - iE_1 /ℏt} + sqrt（1） / 2）phi_2（x）e ^ { - iE_2 /ℏt}#

したがって、その時点でのエネルギー期待値 #t# によって与えられます

#<E> = int_-infty ^ infty psi_A **（x、t）ハット{H} psi_A（x、t）dx#

#= int_infty ^ infty（sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ {iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ {iE_1 /ℏt} + sqrt（1/2） phi_2（x）e ^ {iE_2ℏt}）ハット{H}（sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ { - iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ { - iE_1 /ℏt} + sqrt（1/2）phi_2（x）e ^ { - iE_2 /ℏt}）dx#

#= int_-infty ^ infty（sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ {iE_0 / ^ t} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ {iE_1 / ^ t} + sqrt（1 / 2）φ2（x）e ^ {iE_2 / ^ t}）倍（sqrt（1/6）E_0phi_0（x）e ^ { - iE_0 / ^ t} + sqrt（1/3）E_1phi_1（x）e ^ { -iE_1 /ℏt} + sqrt（1/2）E_2phi_2（x）e ^ { - iE_2 /ℏt}）dx#

ここで、 #phi_i（x）# エネルギー固有関数なので、 #hat {H} phi_i（x）= E_i phi_i（x）#.

これはまだ9つの用語を与えます。しかし、エネルギー固有関数がオルソ正規化されているという事実によって、最終計算は非常に単純化されます。すなわち彼らは従う

#int_-infty ^ infty phi_i（x）phi_j（x）dx = delta_ {ij}#

これは、9つの積分のうち、3つのみが生き残るということを意味します。

#<E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2#

その標準的な結果を使用して #E_n =（n + 1）^ 2 E_0#、我々は持っています #E_1 = 4E_0# そして #E_2 = 9E_0# 無限の可能性のある井戸のために（あなたはもっと #E_n propto n ^ 2# 無限の井戸のために - しかしこれらでは基底状態はラベルされている #E_1# - ここでラベルを付けています #E_0# - だから変化）。このように

#<E> =（1/6×1 + 1/3×4 + 1/2×9）E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0#

注意：

個々のエネルギー固有関数は位相因子を拾うことで時間とともに進化しますが、全体の波動関数は ではない 最初のものとは位相因子だけが異なります - これが、もはや定常状態ではない理由です。
含まれる積分は、

#int_-infty ^ infty psi_i（x）e ^ {+ iE_i / ^ t} E_j psi_j e ^ { - iE_j / ^ t} dx = E_j e ^ {i（E_i-E_j）/ ^ t}回int_-infty ^貧弱なpsi_i（x）psi_j（x）dx#

そしてこれらは時間に依存しているように見えます。しかし、生き残ることができる唯一の積分は、 #i = j# そしてこれらはまさに時間依存性が相殺するものです。
最後の結果は以下の事実と一致します。 #hat {H}# 状態が定常状態でなくても、エネルギーの期待値は時間に依存しません。
元の波動関数は既に次のように正規化されています。 #（sqrt {1/6}）^ 2 +（sqrt {1/3}）^ 2 +（sqrt {1/2}）^ 2 = 1# そしてこの正規化は時間発展においても維持される。
もし標準的な量子力学的結果を利用していれば、私たちは多くの作業を削減することができたでしょう - もし波動関数が次の形で展開されれば #psi = sum_n c_n phi_n# どこ #phi_n# エルミート演算子の固有関数 #hat {A}#, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n#それから #<hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n#もちろん、状態は適切に正規化されています。