これは初歩的な方法では実行できないように容易に見受けられるので、私はそれを数値的に解くだけで得ました：
次の積分を評価しました #ｎ １、１．５、２ 、． 。 。 、9.5、10、25、50、75、100#。それまでには明らかに届いていた #0.5#.
回答：
下記参照。
説明：
#int_0 ^ 1（n x ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx le int_0 ^ 1n x ^（n-1）dx = 1#
#int_0 ^ 1（n x ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^（n-1）dx = 1/2#
または
#1/2 le int_0 ^ 1（n x ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx le 1#
今答えの1つが本当であると仮定すれば、最も自然なのは4番目のようです4）
注意
にとって 0,1#の#x
#1/2 le 1 /（1 + x ^ 2）le 1#
回答：
#1/2#
説明：
前の解決策ですでに示したように、
#I_n = int_0 ^ 1（nx ^（n-1））/（1 + x ^ 2）dx#
存在し、限界があります：
#1/2 le I_n <1#
部品歩留まりによる統合
#I_n =（（int nx ^（n-1）dx）/（1 + x ^ 2））_ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n倍（ - （2x）/（1 + x ^ 2）^ 2 ）dx#
#qquad =（x ^ n /（1 + x ^ 2））_ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^（n + 1）/（1 + x ^ 2）^ 2dx#
#qquad = 1/2 + J_n#
今から #0 <（1 + x ^ 2）^ - 1 <1# に #(0,1)#
#J_n = 2 /（n + 2）int_0 ^ 1（（n + 2）x ^（n + 1））/（1 + x ^ 2）^ 2 dx#
#qquad <= 2 /（n + 2）int_0 ^ 1（（n + 2）x ^（n + 1））/（1 + x ^ 2）dx = 2 /（n + 2）I_（n + 2） ）#
以来 #lim_（nからoo）I_n# 存在します、我々は持っています
#lim_（nからoo）J_n = lim_（nからoo）2 /（n + 2）I_（n + 2）= lim_（nからoo）2 /（n + 2）×lim_（nからoo）I_ （n + 2）= 0#
それゆえ
#lim_（nからoo）I_n = 1/2#
