三角形の3辺すべての長さがわかっていればいつでも使用できます。
これが役に立ったことを願っています。
回答：
ヘロンの式は、ほとんど常に間違った式です。面積を持つ三角形についてアルキメデスの定理を試してください #A# と側面 #a、b、c#:
#16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - （a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2）^ 2#
#quad =（a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2）^ 2 - 2（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
#quad =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#
#quad = 16s（s-a）（s-b）（s-c）# どこで #s = 1/2（a + b + c）#
この最後はヘロンのうすく薄いベールです。
説明：
アレクサンドリアの英雄は西暦1世紀に書いた。近代的に相当するものがはるかに優れているのに、私たちが彼の結果で生徒を拷問し続けているのは、私にはわかりません。
ヘロンの式 #A# 辺を持つ三角形の #a、b、c# です
#A = sqrt {s（s-a）（s-b）（s-c）}# どこで #s = 1/2（a + b + c）# 半周長です。
この式が素晴らしいことは間違いありません。しかし、分数のせいで、座標から始めると4つの平方根のせいで、使うのは面倒です。
数学をやってみましょう。四角にして排除 #s# これは主に隠すのに役立ちます #16# そして重要な因数分解。あなたは最初にそれを自分で試したいと思うかもしれません。
#A ^ 2 = 1/2（a + b + c）（1/2（a + b + c）-a）（1/2（a + b + c）-b）（1/2（a + b + c）-c）#
#A ^ 2 = 1/2（a + b + c）（1/2（-a + b + c））（1/2（a-b + c））（1/2（a + bc）） #
#16A ^ 2 =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#
それはすでにHeronの形式よりはるかに優れています。端数を最後まで保存して、半径の意味についてこれ以上疑問に思うことはありません。
縮退したケースは言っています。マイナス記号の付いたこれらの要素のうちの1つがゼロであるとき、それは2つの側面がまさに反対側になるときです。それらは3つの共線の点、縮退した三角形の間の距離です、そして、我々はゼロ面積を得ます。理にかなっています。
の #a + b + c# 要因は面白いです。それが私たちに言っているのは、この式は、すべて正の値ではなく、変位、符号付き長さを使用しても機能するということです。
式はまだ与えられた座標を使用するのが面倒です。それを増やしましょう。あなたはそれを自分で試したいと思うかもしれません。
#16A ^ 2 =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#
#=（-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2）（a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2）#
#=（-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc）（a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc）#
#=（-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc）（a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc）#
#16A ^ 2 = 2（a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2） - （a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
その形は長さの二乗だけに依存します。それは明らかに完全に対称的です。我々は今ヘロンを越えて行くことができ、 二乗長 有理数である、それで正方形の領域もそうです。
でも注意すればもっとうまくやれる
#（a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2）^ 2 =（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）+ 2（a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 ）#
引き算、
#16A ^ 2 =（a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2）^ 2 - 2（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
それが一番きれいな形です。
通常最も便利な非対称的な外観のフォームがあります。注意しています
#（a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2）^ 2 =（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）-2（-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2）#
これをに追加
#16A ^ 2 = 2（a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2） - （a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
#16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - （a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2）^ 2#
それが最も便利な形式です。それを書くための3つの方法があります。
これらはまとめて、NJ WildbergerのRational Trigonometryからアルキメデスの定理と呼ばれます。
2D座標が与えられると、多くの場合Shoelace Formulaがそのエリアへの最短パスですが、他の投稿のためにそれを保存します。
