計算機の解く機能を使わずに、どうやって方程式を解くことができますか：x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0？

回答：

ゼロは #x = 5#, #x = -2#, #x = 1 + -sqrt（2）i#

説明：

#f（x）= x ^ 4-5 x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30#

と言われます #（x-5）# 要因です、それでそれを分けて下さい：

#x ^ 4-5 x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 =（x-5）（x ^ 3-x + 6）#

と言われます #（x + 2）# また要因です、それでそれを分けて下さい：

#x ^ 3-x + 6 =（x + 2）（x ^ 2-2 x + 3）#

残りの二次因子の判別式は負ですが、複素根を見つけるために二次式を使用することができます。

#x ^ 2-2x + 3# 形式になっています #ax ^ 2 + bx + c# と #a = 1#, #b = -2# そして #c = 3#.

根は2次式で与えられます。

#x =（-b + -sqrt（b ^ 2-4ac））/（2a）#

#=（2 + -sqrt（（ - 2）^ 2-（4 * 1 * 3）））/（2 * 1）#

#=（2 + -sqrt（4-12））/ 2#

#=（2 + -sqrt（-8））/ 2#

#=（2 + -sqrt（8）i）/ 2#

#=（2 + -2sqrt（2）i）/ 2#

#= 1 + -sqrt（2）i#

知らずに試してみよう #（x-5）# そして #（x + 2）# 要因です。

定数項は根の積に等しいので、

#30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4#.

この係数は、その係数がである整数値です。 #pm 1、pm 2、pm 5、pm3# それらの値を試してみるとわかります

#p（-2）= p（5）= 0# 2つの根を得ます。

多項式は次のように表すことができます。

#x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 =（x-5）（x + 2）（x 2 + a x + b）#

右側を計算し、得られた両側を比較する

#-5 = a-3#

#-1 = b-3a-10#

#11 = -10a-3b#

#-30 = -10b#

を解決する #（a、b）# 我々が得る #a = -2、b = 3#

の根を評価する #x ^ 2-2x + 3 = 0# 我々が得る #1 - i sqrt 2、1 + i sqrt 2#