回答：
Sudip Sinhaが指摘したように #-1 + sqrt3i# ゼロではありません。 （私はそれをチェックすることを怠った。）他のゼロは #1-sqrt3 i# そして #1#.
説明：
係数はすべて実数であるため、虚数のゼロは共役対で発生する必要があります。
したがって、 #1-sqrt3 i# ゼロです。
もし #c# それからゼロです #z-c# は要因なので、
#（z-（1 + sqrt3 i））（z-（1-sqrt3 i））# 取得するため #z ^ 2-2z + 4#
それから分割する #P（z）# その二次式によって。
しかしのために可能な合理的なゼロを考慮することはより速いです #P# 最初。またはそれを見るために係数を追加する #1# またゼロです。
回答：
#1# そして #1 - sqrt3 i#
説明：
質問に誤りがあります。ルートは #1 + sqrt3 i#。式に値を入れることでこれを確認できます。それが根であれば、式はゼロと評価されるべきです。
この式はすべて実数の係数を持っているので、Complex Conjugate Roots Theorem（http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem）によると、もう1つの複素根は次のようになります。 #1 - sqrt3 i#, 明らかに、第三の根（言う #a#複素共役を持つことはできないので、実数でなければなりません。そうでなければ4つの根があるでしょう、これは3次方程式では不可能です。
注意
#（z - （1 - sqrt3 i））（z - （1 + sqrt3 i））#
#=（（z - 1）+ sqrt3 i）（（z - 1） - sqrt3 i）#
#=（（z - 1）^ 2 - （sqrt3 i）^ 2）# （以来 #（z + a）（z - a）= z ^ 2 - a ^ 2#.)
#= z ^ 2 - 2z + 1 - 3（-1）#
#= z ^ 2 - 2z + 4#
この要素を式に入れようとします。
私たちは書くことがあります：
#P（z）= z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4#
#= z（z ^ 2 - 2z + 4） - 1（z ^ 2 - 2z + 4）#
#=（z - 1）（z ^ 2 - 2z + 4）#
#=（z - 1）（z - （1 - sqrt3 i））（z - （1 + sqrt3 i））#
回答：
イントロとして、その根は #色（青）（1 + sqrt3）# ではなく #色（赤）（ - 1 + sqrt3）#
その上で 私の答えは:
#1の{1、 "" 1 + sqrt3、 "" 1-sqrt3}#
説明：
という考えを使って 複素共役 その他 クールなトリック.
#P（z）# 次数の多項式です #3#。これはそれだけがあるべきであることを意味します #3# ルーツ。
複雑な根についての1つの興味深い事実は、それらが単独で発生することは決してないということです。 共役対.
もしそうなら #1 + isqrt3# 一つの根で、その共役は #1-isqrt3# 確かに根もそうです！
あと1つだけルートが残っているので、そのルートと呼ぶことができます。 #z = a#.
複素数の根は常に対で発生するため、複素数ではありません。
そしてこれが最後の #3# ルーツ、最初のペアの後に他のペアは存在できません。
最後にの要因 #P（z）# であることが簡単にわかりました #z-（1 + isqrt3） "、" z-（1-isqrt3） "、"（z-a）#
NB： 根と因子の違いは、次のとおりです。
- ルートは #z = 1 + i#
しかし、対応する要素は #z-（1 + i）#
2番目のトリックは、ファクタリングによって #P（z）# 私たちはこのようなものを得るべきです：
#P（z）= z-（1 + isqrt3） z-（1-isqrt3）（z-a）#
次に、中括弧を広げます。
#P（z）= z ^ 2-z（1 + isqrt3 + 1-isqrt3）+（1 + isqrt3）（1-isqrt3）（z-a）#
#= z ^ 2-z（2）+（1 + 3）（z-a）#
#= z ^ 2-2z + 4（z-a）#
#= z ^ 3 + z ^ 2（-a-2）+ z（2a + 4）-4a#
次に、これを元の多項式と同じにします。 #P（z）= z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4#
#=> z ^ 3 + z ^ 2（-a + 2）+ z（-2a + 4）-4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4#
2つの多項式は同一なので、以下の係数を等式にします。 #z ^ 3#, #z ^ 2#, #z ^ 1#そして #z ^ 0#どちらの側でも（定数項）
実際には、1つの方程式を選択してそれを解く必要があります。 #a#
定数項を等化すると、
#=> - 4a = -4#
#=> a = 1#
したがって、最後の根は #色（青）（z = 1）#
