線形代数/抽象代数の観点から見たアーベル群とは何ですか？

回答：

アーベル群は、可換である群演算の追加の性質を持つ群である。

説明：

A グループ #<G、•># セットです #G# 二項演算と一緒に #•：GxxG-> G# 次の条件を満たす

1. #G# です 閉まっている 下 #•#.

   のために #a、binG#、 我々は持っています G#の#a•b

2. #•# です 連想.

   のために #a、b、cinG#、 我々は持っています #（a•b）•（c）= a•（b•c）#

3. #G# を含む アイデンティティ要素

   が存在します #einG# みんなのために #ainG#, #a•e = e•a = a#

4. の各要素 #G# 持っています 逆 に #G#

   すべてのために #ainG# が存在します #a ^（ - 1）inG# そのような #a•a ^（ - 1）= a ^（ - 1）•a = e#

グループはと言われています アーベリアン それがまた特性を持っていれば #•# 可換である、つまりすべての人にとって #a、binG#、 我々は持っています #a•b = b•a#.

グループ #<ZZ、+># （標準加算の整数）は上記の5つの条件すべてを満たすので、アーベル群です。

グループ #GL_2（RR）# （リバーシブルのセット #2 "x" 2# これは最初の4つの条件を満たしているが、可逆行列間の行列乗算は必ずしも可換ではないからである。例えば：

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

しかし

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#