正三角形に内接する円の半径は2です。三角形の周囲は何ですか？

回答：

周囲長は #12sqrt（3）#

説明：

この問題に対処する方法はたくさんあります。

そのうちの1つです。

三角形に内接する円の中心は、その角の二等分線の交点にあります。正三角形の場合、これはその高度と中央値が交差する点と同じです。

中央値は、他の中央値との交点で比例して分割されます。 #1:2#。したがって、問題の正三角形の中央、高度、角度の2等分線は、次のようになります。

#2+2+2 = 6#

これで、標高/中央値/角度二等分線がわかっていれば、ピタゴラスの定理を使ってこの三角形の辺を見つけることができます。

側面が #バツ#、ピタゴラスの定理から

#x ^ 2 - （x / 2）^ 2 = 6 ^ 2#

これから：

#3x ^ 2 = 144#

#sqrt（3）x = 12#

#x = 12 / sqrt（3）= 4 sqrt（3）#

周囲はそのような3つの側面に等しい：

#3x = 12sqrt（3）#.

回答：

周囲長は #12sqrt（3）#

説明：

代替方法は以下の通りです。

正三角形が #デルタABC# 内接円の中心は #O#.

頂点から中央値/標高.angle二等分線を描く #A# スルーポイント #O# 横と交差するまで #紀元前# ポイントで #M#。明らかに #OM = 2#.

三角形を考える #デルタOBM#.

それは 右 以来 #OM_ | _BM#.

角度 #/ _ OBM = 30 ^ o# 以来 #BO# の角度二等分線です。 #/ _ ABC#.

側 #BM# 横の半分 #紀元前# 以来 #AM# 中央値です。

今、私たちは見つけることができます #OB# に等しい1つの鋭角を持つ直角三角形の斜辺として #30 ^ o# そしてその反対側のカテラス #2#。この血圧降下は、このカテーテルの2倍の長さです。 #4#.

斜辺を持つ #OB# とカテトス #OM#、別のカテーテルを探す #BM# ピタゴラスの定理：

#BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12#

したがって、

#BM = sqrt（12）= 2 sqrt（3）#

#BC = 2 * BM = 4sqrt（3）#

周囲は

#3 * BC = 12平方フィート（3）#