Nを2018桁の10進数の正の整数とします。それらはすべて1です。つまり、N = 11111cdots111です。 sqrt（N）の小 数点以下の1000桁は何ですか？

回答：

#3#

説明：

与えられた整数は #1/9(10^2018-1)#それで、それは非常に近い正の平方根を持ちます #1/3(10^1009)#

ご了承ください：

#(10^1009-10^-1009)^2 = 10^2018-2+10^-2018 < 10^2018-1#

#(10^1009-10^-1010)^2 = 10^2018-2/10+10^-2020 > 10^2018-1#

そう：

#10 ^ 1009-10 ^ -1009 <sqrt（10 ^ 2018-1）<10 ^ 1009-10 ^ -1010#

そして：

#1/3（10 ^ 1009-10 ^ -1009）<sqrt（1/9（10 ^ 2018-1））<1/3（10 ^ 1009-10 ^ -1010）#

この不等式の左辺は、

#overbrace（333 … 3）^ "1009回".overbrace（333 … 3）^ "1009回"#

そして右側は：

#overbrace（333 … 3）^ "1009回".overbrace（333 … 3）^ "1010回"#

だから我々はそれを見ることができます #1000#小数位は #3#.