高さhの4つの長方形の壁の上に、半径r、高さrの半円筒形の屋根を取り付けます。この構造の構築に使用される200μm2のプラスチックシートがあります。最大音量を許容するrの値は何ですか？

回答：

#r = 20 / sqrt（3）=（20sqrt（3））/ 3#

説明：

私がそれを理解したので私に質問をもう一度言いましょう。

このオブジェクトの表面積が #200pi#音量を最大にする.

計画

表面積を知ることで、高さを表すことができます #h# 半径の関数として #r#次に、体積を1つのパラメータ - 半径の関数として表すことができます。 #r#.

この関数は、を使って最大化する必要があります。 #r# パラメータとして。それはの価値を与える #r#.

表面積が含まれています：

底面の周囲と平行六面体の側面を形成する4つの壁 #6r# と高さ #h#の総面積が #6rh#.

1屋根、半径の円柱の側面の半分 #r# そして高さ #r#、それはの面積があります #pi r ^ 2#

屋根の2つの側面、半径の半円 #r#総面積は #pi r ^ 2#.

結果として得られるオブジェクトの総表面積は

#S = 6rh +2πr ^ 2#

これが等しいことを知っている #200pi#、表現できます #h# の面では #r#:

#6rh + 2pir ^ 2 = 200pi#

#r =（100pi-pir ^ 2）/（3r）=（100pi）/（3r） - pi / 3r##

このオブジェクトのボリュームには、屋根の下と屋根の内側の2つの部分があります。

屋根の下に私達は基盤の区域と平行六面体を持っている #2r ^ 2# と高さ #h#それはその量です

#V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3#

屋根の中には半径が半分の円筒があります #r# と高さ #r#、その量は

#V_2 = 1 / 2pir ^ 3#

私達は機能を最大にしなければなりません

#V（r）= V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3#

それはこのように見えます（縮尺通りではありません）

グラフ{2x-0.6x ^ 3 -5.12、5.114、2.56、2.56}

この関数は、微分が正の引数に対してゼロに等しいときに最大になります。

#V '（r）= 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2#

の地域で #r> 0# それはゼロに等しい #r = 20 / sqrt（3）= 20sqrt（3）/ 3#.

それは、表面積とオブジェクトの形状を考慮して、最大の体積を与える半径です。