Ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0を解きますか？

回答：

簡単なスケッチ…

説明：

与えられた：

#ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 ""# と #a！= 0#

これは非常に手間がかかりますので、1つの方法のスケッチを示します。

で乗算 #256a ^ 3# そして代用 #t =（4ax + b）# 次の形式の落ち込んだmonic Quarticを得るために：

#t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0#

これには用語がないので注意してください。 #t ^ 3#、それは次の形式で因数分解しなければなりません：

#t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r =（t ^ 2 - At + B）（t ^ 2 + At + C）#

#色（白）（t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r）= t ^ 4 +（B + C - A ^ 2）t ^ 2 + A（B - C）t + BC#

係数を等化して少し整理すると、次のようになります。

#{（B + C = A ^ 2 + p）、（B-C = q / A）、（BC = d）：}#

だから我々は見つけます：

#（A ^ 2 + p）^ 2 =（B + C）^ 2#

#色（白）（（A ^ 2 + p）^ 2）=（B-C）^ 2 + 4BC#

#色（白）（（A ^ 2 + p）^ 2）= q ^ 2 / A ^ 2 + 4d#

乗算、乗算 #A ^ 2# 少し並べ替えると、次のようになります。

#（A ^ 2）^ 3 + 2p（A ^ 2）^ 2 +（p ^ 2-4d）（A ^ 2）-q ^ 2 = 0#

この「立方体 #A ^ 2#"少なくとも1つの実根を持ちます。 #A#。にもかかわらず、立方体の任意の根がします。

の値を考える #A#、 我々は持っています：

#B = 1/2（（B + C）+（B-C））= 1/2（A ^ 2 + p + q / A）#

#C = 1/2（（B + C） - （B-C））= 1/2（A ^ 2 + p-q / A）#

したがって、解くために2つの2次方程式を得ます。