幾何学的級数のr（ "th"）項は（2r + 1）cdot 2 ^ rです。シリーズの最初のn項の合計は何ですか？

回答：

#（4n-2）* 2 ^ n + 3#

#S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r#

#S = sum_ {r = 1} ^ n r * 2 ^（r + 1）+（1 - 2 ^ {n + 1}）/（1 - 2）#

#S = a_ {01}（1 - 2 ^ n）/（1- 2）+ … + a_ {0n}（1 - 2 ^ {n-（n-1）}）/（1-2） + 2 ^ {n + 1} - 1#

#1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4#

#+ 1 * 2^3 + 1 * 2^4#

#+ 1 * 2^4#

#S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2}（2 ^（n - i） - 1）+ 2 ^ {n + 1} - 1#

#S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1}（2 ^ n - 2 ^ i）+ 2 ^ {n + 1} - 1#

#S = 4 * 2 ^ n * n - 4 *（2 ^ n - 1）+ 2 ^ {n + 1} - 1#

#S =（4n-2）* 2 ^ n + 3#

検証しましょう

#S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots#

#S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots#

#S（0）= 1 = -2 + 3#

#S（1）= 7 = 2 * 2 + 3#

#S（2）= 27 = 6 * 2 ^ 2 + 3#

そして #S（3）= 83 = 10 * 2 ^ 3 + 3#

#（4n-2）2 ^ n + 2、または、（2n-1）2 ^（n + 1）+ 2#

みましょう #S_n# を表す 最初の合計 #n# の用語 シーケンス

#（2r + 1）2 ^ r#.

その後、 #S_n = sum_（r = 1）^（r = n）（2r + 1）2 ^ r#,

#：S_n = 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + … +（2n-1）* 2 ^（n-1）+（2n + 1）* 2 ^ n#.

掛け算 によって #2#、我々が得る、

#2S_n = 3 * 2 ^ 2 + 5 * 2 ^ 3 + … +（2n-1）* 2 ^ n +（2n + 1）* 2 ^（n + 1）#.

2S_n-S_n =（3-5）2 ^ 2 +（5-7）2 ^ 3 + … + {（2n-1） - （2n + 1）} 2 ^ n +（2n + 1） 2 ^（n + 1）色（赤）（ - 3 * 2 ^ 1）#.

#：S_n =色（赤）（ - 2 * 2 ^ 1）-2 * 2 ^ 2-2 * 2 ^ 3-2 * 2 ^ n +（2n + 1）2 ^（n + 1）色（赤））（ - 1 * 2 ^ 1）、#

#= - 2 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + … + 2 ^ n +（2n + 1）色（青）（2 ^（n + 1）） - 2 #,

#= - 2 {2（2 ^ n-1）} /（2-1） +（2n + 1）色（青）（2 ^ n * 2）-2#, #= - 4 * 2 ^ n + 4 +（4n + 2）2 ^ n-2#.

#= 2 ^ n {-4+（4n + 2）} + 4-2#.

#rArr S_n =（4n-2）2 ^ n + 2、または、S_n =（2n-1）2 ^（n + 1）+ 2#