可能であれば、grad f =（4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2、6x ^ 3y + 6y ^ 5）となるような関数fを見つけてください。

回答：

#f（x、y）= x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c#

説明：

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2#

#=> f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1（y）#

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5#

#=> f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2（x）#

#「今すぐ取る」#

#C_1（y）= y ^ 6 + c#

#C_2（x）= x ^ 4 + c#

# "それなら、条件を満足する同じfが1つあります。"##

#=> f（x、y）= x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c#

回答：

#f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c#

説明：

del演算子（または勾配演算子）はベクトル微分演算子であるため、問題の表記法はよくありません。

機能を探す #f（x、y）# そのような：

#bb（grad）f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2、6x ^ 3y + 6y ^ 5 >>#

どこで #bb（卒業生）# 勾配演算子です。

# "grad" f = bb（grad）f =（部分f）/（部分x）bb（ulハットi）+（部分f）/（部分x）bb（ulハットj）= << f_x、f_y> >#

そこから我々はそれを要求します：

#f_x =（部分f）/（部分x）= 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

#f_y =（部分f）/（部分y）= 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

A wrtを統合すると #バツ#、治療しながら #y# 定数として、それから我々は得ます：

#f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx#

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u（y）+ c#

B wrtを統合すると #y#、治療しながら #バツ# 定数として、それから我々は得ます：

#f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy#

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v（x）+ c#

どこで #u（y）# の任意の関数です #y# 一人で、そして #v（x）# の任意関数です #バツ# 一人で。

我々は明らかにこれらの機能が同一であることを要求しているので、我々は持っている：

#x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u（y）+ c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v（x）+ c#

#：。 x ^ 4 + u（y）= y ^ 6 + v（x）#

そして私達は選びます #v（x）= x ^ 4# そして #u（y）= y ^ 6#これが私たちの解決策になります。

#f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c#

偏微分を計算することで解を容易に確認できます。

#f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2#, #f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5#

#：。 bb（grad）f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2、6x ^ 3y + 6y ^ 5 >># QED