[2,9]のf（x）=（9x ^（1/3））/（3x ^ 2-1）の絶対極値は何ですか？

回答：

絶対最小値は #（9 * root3（9））/ 26##=0.7200290…# ときに発生します #x = 9#.

絶対最大値は #（9 * root3（2））/ 11##=1.030844495… # ときに発生します #x = 2#.

説明：

関数の絶対極値は、与えられたドメイン上の関数の最大および最小のy値です。このドメインは（この問題のように）私たちに与えられるかもしれませんか、またはそれは関数自体のドメインかもしれません。ドメインが与えられたとしても、与えられたドメインの値を除外するのであれば、関数自体のドメインを考慮しなければなりません。

#f（x）# 指数を含む #1/3#これは整数ではありません。幸いなことに、のドメイン #p（x）= root3（x）# です #（ - oo、oo）# だからこの事実は問題ではありません。

ただし、分母がゼロにならないという事実を考慮する必要があります。分母は次の場合にゼロになります。 #x = + - （1/3）= + - （sqrt（3）/ 3）#。これらの値のどちらもがの与えられた領域にありません #2,9#.

それで、我々は絶対極値を見つけることに目を向けます #2,9#。絶対極値は、ドメインの端点または局所的な極値で発生します。つまり、関数が方向を変える点です。局所極値は、導関数が等しい領域内の点である臨界点で発生します #0# または存在しません。したがって、導関数を見つけなければなりません。商の規則を使用する：

#f '（x）=（（3x ^ 2-1）*（1/3）（9x ^（ - 2/3）） - 9x ^（1/3）* 6x）/（3x ^ 2-1） ^ 2#

#f '（x）=（（3x ^ 2-1）* 3x ^（ - 2/3）-54x ^（4/3））/（3x ^ 2-1）^ 2#

#f '（x）=（9x ^（4/3）-3x ^（ - 2/3）-54x ^（4/3））/（3x ^ 2-1）^ 2#

#f '（x）=（ - 45x ^（4/3）-3x ^（ - 2/3））/（3x ^ 2-1）^ 2#

考慮すれば #-3x ^（ - 2/3）# 分子の外には、

#f '（x）=（ - 3（15x ^ 2 + 1））/（x ^（2/3）（3x ^ 2-1）#

の値はありません #バツ# に #2,9# どこで #f '（x）# 存在しない。にも値はありません #2,9# どこで #f '（x）= 0#。したがって、特定のドメインに重要なポイントはありません。

「候補検定」を使用して、次の値を見つけます。 #f（x）# エンドポイントで。 #f（2）=（9 * root3（2））/（3 * 4-1）#=#（9 * root3（2））/ 11#

#f（9）=（9 * root3（9））/（3 * 9-1）#=#（9 * root3（9））/ 26#

私たちの計算機の簡単なチェックはそれを示しています：

#（9 * root3（2））/ 11##=1.030844495… # （絶対最大）

#（9 * root3（9））/ 26##=0.7200290…# （絶対最小）