Int_1 ^ e（lnx）/（2x）dxとは何ですか？

回答：

#= 1/4#

説明：

#int_1 ^ e（lnx）/（2x）dx#

#= int_1 ^ e d / dx（1/4 ln ^ 2x）dx#

#= 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e#

#= 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4#

回答：

#1/4#

説明：

これをいくつかの方法で行うことができます、ここでそれらの2つです。 1つ目は置換を使用することです。

#色（赤）（「方法1」）#

#int_1 ^ e（ln（x））/（2x）dx = 1/2 int_1 ^ e（ln（x））/（x）dx#

みましょう #u = ln（x）はdu =（dx）/ xを意味します。

限界を変える：

#u = ln（x）はu：0を意味します1#1

積分は次のようになります。

#1 / 2int_0 ^ 1 udu = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4#

これはより簡単な方法ですが、必ずしも代用できるとは限りません。代替手段は部品による統合です。

#色（赤）（「方法2」）#

部品ごとの統合を使う：

機能について #u（x）、v（x）#:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx#

#u（x）= ln（x）は、u '（x）= 1 / xを意味します。

#v '（x）= 1 /（2x）はv（x）= 1/2 ln（x）を意味します。

#int（ln（x））/（2x）dx = 1 / 2ln（x）ln（x） - int（ln（x））/（2x）dx#

似たような用語をグループ化する：

#2 int（ln（x））/（2x）dx = 1 / 2ln（x）ln（x）+ C#

#したがって、int（ln（x））/（2x）dx = 1 / 4ln（x）ln（x）+ C#

しかし、我々は明確な積分で作業しているので、限界を適用して定数を削除します。

#int_（1）^（e）（ln（x））/（2x）dx = 1 / 4ln（x）ln（x） _ 1 ^ e#

#= 1 / 4ln（e）ln（e） - 1 / 4ln（1）ln（1）#

#ln（e）= 1、ln（1）= 0#

#implies int_（1）^（e）（ln（x））/（2x）dx = 1/4#