回答：
#arctan（e ^ x）+ C#
説明：
# "e ^ x" dxを "d（e ^ x）"と書くと、 "#"が得られます。
#int（d（e ^ x））/（1+（e ^ x）^ 2）#
# "置換y =" e ^ x "を使うと、"# "が得られます。
#int（d（y））/（1 + y ^ 2）#
# "等しい"#
#arctan（y）+ C#
# "今すぐ元に戻します" y = e ^ x：#
#arctan（e ^ x）+ C#
回答：
#int e ^ x /（1 + e ^（2x）） "d" x =アルクタン^ x + "c"#
説明：
見つけたい #inte ^ x /（1 + e ^（2x）） "d" x = int1 /（1+（e ^ x）^ 2）e ^ x "d" x#
今させましょう #u = e ^ x# したがって、両側の微分をとると #du = e ^ xdx#。さて、これらの方程式の両方を積分に代入して、
#int1 /（1 + u ^ 2） "d" u#
これはに評価される標準積分です。 #arctanu#。代用する #バツ# 最終的な回答が得られます。
#arctan e ^ x + "c"#
回答：
#int e ^ x /（1 + e ^（2x）） dx = tan ^ -1（e ^ x）+ C#
説明：
まずはじめに #u = 1 + e ^（2x）#。に関して統合する #u#の導関数で割る #u#これは #2e ^（2x）#:
#int e ^ x /（1 + e ^（2x）） dx = 1 / 2int e ^ x /（e ^（2x）* u） du = 1 / 2int e ^ x /（e ^ x * e ^ x * u） du =#
#= 1 / 2int 1 /（e ^ x * u） du#
に関して統合する #u#、で表現されるすべてが必要です #u#だから、我々は何のために解決する必要があります #e ^ x# という意味です #u#:
#u = 1 + e ^（2x）#
#e ^（2x）= u-1#
#2x = ln（u-1）#
#x = 1/2 ln（u-1）#
#x = ln（（u-1）^（1/2））= ln（sqrt（u-1））#
#e ^ x = e ^（ln（sqrt（u-1）））= sqrt（u-1）#
これを積分に戻すことができます。
#= 1 / 2int 1 /（e ^ x * u） du = 1 / 2int 1 /（sqrt（u-1）* u） du#
次に置換を紹介します。 #z = sqrt（u-1）#。導関数は次のとおりです。
#（dz）/（du）= 1 /（2sqrt（u-1）#
それで私達はそれに関して分割するために統合するために #z# （除算は逆数を掛けるのと同じことに注意してください）：
#1 / 2int 1 /（sqrt（u-1）* u） du = 1 / 2int 1 /（sqrt（u-1）* u）* 2sqrt（u-1） dz =#
#= 2 / 2int 1 / u dz#
さて、我々はまた間違った変数を持っているので、我々は何のために解決する必要があります #u# に関してはと等しい #z#:
#z = sqrt（u-1）#
#u-1 = z ^ 2#
#u = z ^ 2 + 1#
これは与える：
#int 1 / u dz =整数 1 /（1 + z ^ 2） dz#
これはの一般的な導関数です。 #tan ^ -1（z）#だから、私たちは得ます：
#int 1 /（1 + z ^ 2） dz = tan ^ -1（z）+ C#
すべての置換を元に戻すと、次のようになります。
#tan ^ -1（z）+ C = tan ^ -1（sqrt（u-1））+ C =#
#= tan ^ -1（sqrt（1 + e ^（2x）-1））+ C = tan ^ -1（（e ^（2x））^（1/2））+ C =#
#= tan ^ -1（e ^ x）+ C#
