微分方程式y '' ' - y' '+ 44y'-4 = 0の一般解は何ですか？

# "特性式は次のとおりです。"#

#z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0#

#=> z（z ^ 2 - z + 4）= 0#

#=> z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0#

# "四角形の円盤。方程式= 1 - 16 = -15 <0"#

# "つまり、2つの複雑な解決策があります。それらは"#です。

#z =（1 pm sqrt（15）i）/ 2#

# "したがって、同次方程式の一般解は次のようになります。"#

#A + B 'exp（x / 2）exp（（sqrt（15）/ 2）i x）+#

#C 'exp（x / 2）exp（ - （sqrt（15）/ 2）i x）#

#= A + B exp（x / 2）cos（sqrt（15）x / 2）+ C exp（x / 2）sin（sqrt（15）x / 2）#

# "完全な方程式を解くための具体的な解決策は"#です。

# "y = x、"#

# "見やすいです。"#

# "したがって、完全な解決策は次のとおりです。"#

#y（x）= x + A + B exp（x / 2）cos（sqrt（15）x / 2）+ C exp（x / 2）sin（sqrt（15）x / 2）#

回答：

#y = A + e ^（1 / 2x）{Bcos（sqrt（15）/ 2x）+ Csin（sqrt（15）/ 2x）} + x#

我々は持っています：

#y '' ' - y' '+ 44y'-4 = 0#

または、あるいは

#y '' ' - y' '+ 4y' = 4# ….. A

これは三番定数係数をもつ高次線形非一様微分方程式標準的な方法は解決策を見つけることです。 #y_c# 導関数の係数を持つ多項式である補助方程式を見て、次に独立した特定の解を求めることによって、均質方程式を解きます。 #y_p# 不均質方程式

補助方程式の根は、解の一部を決定します。これは、線形に独立している場合、解の重ね合わせが完全な一般解を形成します。

実在する根 #m =アルファ、ベータ、…# 次の形式の線形独立な解を求めます #y_1 = Ae ^（alphax）#, #y_2 = Be ^（betax）#, …
本当の繰り返しルーツ #m =アルファ#の形の解が得られる #y =（Ax + B）e ^（alphax）# ここで、多項式は繰り返しと同じ次数を持ちます。
複素根（共役対として出現する必要があります） #m = p + -qi# 次の形式のペアの線形独立な解を求めます #y = e ^（px）（Acos（qx）+ Bsin（qx））#

特定のソリューション

不均質方程式の特定の解を見つけるために：

#y '' ' - y' '+ 4y' = f（x） # と #f（x）= 4# ….. C

それから #f（x）# 次数の多項式です #0#同じ程度の多項式の解、すなわち形式のものを探す。 #y = a#

ただし、そのようなソリューションはすでにCFソリューションに存在するため、次の形式の潜在的なソリューションを検討する必要があります。 #y = ax#、どこで定数 #a# 直接の代入と比較によって決定されます。

差別化 #y = ax# Wrt #バツ# 我々が得る：

#y '= a#

#y '' = 0#

#y '' '= 0#

これらの結果をDE Aに代入すると、

#0-0 + 4a = 4 => a = 1#

そして、我々は特定の解決策を形成します。

#y_p = x#

一般的な解決策

それはそれからA}のGSに導く

#y（x）= y_c + y_p#

# = A + e ^（1 / 2x）{Bcos（sqrt（15）/ 2x）+ Csin（sqrt（15）/ 2x）} + x#

このソリューションは #3# 積分定数と #3# 線形独立な解、したがって存在と一意性の定理により、それらの重ね合わせは一般解です。