回答：
#色（青）（int（1 /（1 + cot x））dx =）#
#color（青）（1/2 * ln（（tan ^ 2（x / 2）+ 1）/（tan ^ 2（x / 2）-2 * tan（x / 2）-1）））+ x / 2 + K）#
説明：
与えられたから #int（1 /（1 + cot x））dx#
被積分関数が三角関数の有理関数の場合、代入は #z = tan（x / 2）#またはその同等物
#シンx =（2z）/（1 + z ^ 2）# そして #cos x =（1-z ^ 2）/（1 + z ^ 2）# そして
#dx =（2dz）/（1 + z ^ 2）#
ソリューション：
#int（1 /（1 + cot x））dx#
#int（1 /（1 + cos x / sin x））dx#
#int（sin x /（sin x + cos x））dx#
#int（（2z）/（1 + z ^ 2））/（（（2z）/（1 + z ^ 2）+（1-z ^ 2）/（1 + z ^ 2）））*（（ 2dz）/（1 + z ^ 2））#
簡素化する
#int（（2z）/（1 + z ^ 2））/（（（2z）/（1 + z ^ 2）+（1-z ^ 2）/（1 + z ^ 2）））*（（ 2dz）/（1 + z ^ 2））#
#int（4z）/（（ - - z ^ 2 + 2z + 1）（z ^ 2 + 1））* dz#
#int（-4z）/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））* dz#
この時点で、部分分数を使って積分する
#int（-4z）/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））* dz = int（（Az + B）/（z ^ 2 + 1）+（Cz + D）/ （z ^ 2-2z-1））dz#
部分分数を最初にします
#（ - 4z）/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））=（Az + B）/（z ^ 2 + 1）+（Cz + D）/（z ^ 2- 2z-1）#
#（ - 4z）/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））=（（Az + B）（z ^ 2-2z-1）+（Cz + D）（z ^ 2） +1））/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））#
方程式の右側を展開する
#（ - 4z）/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））=#
#（Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D）/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1） ）#
方程式を設定する
#（0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0）/（（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））=#
#（（A + C）* z ^ 3 +（ - 2A + B + D）* z ^ 2 +（ - A-2B + C）* z +（ - B + D）* z ^ 0）/（（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））#
方程式は
#A + C = 0#
#-2A + B + D = 0#
#-A-2B + C = -4#
#-B + D = 0#
同時解の結果
#A = 1# そして #B = 1# そして #C = -1# そして #D = 1#
これで統合が可能になりました
#int（-4z）/（（z ^ 2 + 1）（z ^ 2-2z-1））* dz = int（（Az + B）/（z ^ 2 + 1）+（Cz + D）/ （z ^ 2-2z-1））dz = int（（z + 1）/（z ^ 2 + 1）+（ - z + 1）/（z ^ 2-2z-1））dz =#
#1/2 int（2z）/（z ^ 2 + 1）dz + int dz /（z ^ 2 + 1）-1 / 2int（2z-2）/（z ^ 2-2z-1）dz#
#= 1/2 * ln（z ^ 2 + 1）+ tan ^ -1 z -1 / 2 * ln（z ^ 2-2z-1）#
#= 1/2 * ln（（z ^ 2 + 1）/（z ^ 2-2z-1））+ tan ^ -1 z#
元の変数に戻します #バツ# 使う #z = tan（x / 2）# 最終的な答えのために。
#色（青）（int（1 /（1 + cot x））dx =）#
#color（青）（1/2 * ln（（tan ^ 2（x / 2）+ 1）/（tan ^ 2（x / 2）-2 * tan（x / 2）-1）））+ x / 2 + K）#
どこで #K =# 積分定数
神のご加護がありますように…。
