どうやって（sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1）cosxを単純化できますか？

回答：

#cos ^ 5x#

この種の問題は、それが小さな代数を含んでいることを認識すれば、それほど悪くありません。

まず、与えられた式を書き換えて、次の手順を理解しやすくします。私達はことを知っています #sin ^ 2x# 書くのがもっと簡単な方法です #（sin x）^ 2#。同様に #sin ^ 4x =（sin x）^ 4#.

元の式を書き換えることができます。

#（sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x + 1）cos x#

#= （sin x）^ 4 - 2（sin x）^ 2 + 1 cos x#

さて、これが代数に関する部分です。みましょう #シンx = a#。我々は書ける #（sin x）^ 4 - 2（sin x）^ 2 + 1# として

#a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1#

これはおなじみでしょうか。これを考慮に入れる必要があります。これは完璧な四角三項です。以来 #a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 =（a-b）^ 2#、と言えます

#a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 =（a ^ 2 - 1）^ 2#

さて、元の状況に戻りましょう。再代用 #シンx# にとって #a#.

#（sin x）^ 4 - 2（sin x）^ 2 + 1 cos x#

#= （sin x）^ 2 -1 ^ 2 cos x#

#=（色（青）（sin ^ 2x - 1））^ 2 cos x#

ここで、三角恒等式を使用して、用語を青で簡単にすることができます。アイデンティティーの再配置 #sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1#、我々が得る #色（青）（sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x）#.

#=（色（青）（ - cos ^ 2x））^ 2 cos x#

これを2乗すると、負の符号が増えて正になります。

#=（cos ^ 4x）cos x#

#= cos ^ 5x#

したがって、 #（sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x + 1）cos x = cos ^ 5 x#.