回答：
面積は #=（32/3）u ^ 2# そしてボリュームは #=（512 / 15pi）u ^ 3#
説明：
x軸との切片を見つけることから始めます
#y = 4x-x ^ 2 = x（4-x）= 0#
したがって、
#x = 0# そして #x = 4#
面積は
#dA = ydx#
#A = int_0 ^ 4（4x-x ^ 2）dx#
#= 2x ^ 2-1 / 3x ^ 3 _0 ^ 4#
#=32-64/3-0#
#= 32 / 3u ^ 2#
音量は
#dV = piy ^ 2dx#
#V = piint_0 ^ 4（4x-x ^ 2）^ 2dx#
#= piint_0 ^ 4（16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4）dx#
#= pi 16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5 _0 ^ 4#
#= pi（1024 / 3-512 + 1024 / 5-0）#
#= pi（5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15）#
#= pi（512/15）#
回答：
a。 #32/3#
b。 #（512pi）/ 15#
説明：
まず、グラフがグラフと交差する点を見つける必要があります。 #バツ#-軸。
#4x-x ^ 2 = x（4-x）= 0#
どちらでも #x = 0# または #4-x = 0#
#x = 0または4#
これで、上限と下限がわかりました。
a。 # "グラフの下の面積" = int_b ^ af（x）dx#
#int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 =（2（4）^ 2-4 ^ 3/3） - （2（0）^ 2-0 ^ 3/3）= 32/3#
b。 # "回転量" = piint_b ^ a（f（x））^ 2dx#
#f（x）^ 2 =（4x-x ^ 2）^ 2 = 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4#
#piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi （16x ^ 3）/ 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi （（16（4）^ 3 ）/ 3-2（4）^ 4 + 4 ^ 5/5） - （（16（0）^ 3）/ 3-2（0）^ 4 + 0 ^ 5/5） =π512/15 =（512pi）/ 15#
