三角形Aの面積は4で、2辺の長さは8と4です。三角形Bは三角形Aに似ていて、長さ13の辺を持ちます。三角形Bの最大面積と最小面積はいくつですか？

回答：

# "最大" = 169/40（5 + sqrt15）~~ 37.488#

# "最小" = 169/40（5 - sqrt15）~~ 4.762#

説明：

三角形の頂点とする #A# ラベルを付ける #P#, #Q#, #R#と、 #PQ = 8# そして #QR = 4#.

ヘロンの式を使って、

# "面積" = sqrt {S（S-PQ）（S-QR）（S-PR）}#どこで

#S = {PQ + QR + PR} / 2# 半周です。

我々は持っています

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2#

したがって、

#sqrt {S（S-PQ）（S-QR）（S-PR）}#

#= sqrt {（{12 + PQ} / 2）（{12 + PQ} / 2-8）（{12 + PQ} / 2-4）（{12 + PQ} / 2-PQ）}#

#= sqrt {（12 + PQ）（PQ - 4）（4 + PQ）（12 - PQ）} / 4#

#= "面積" = 4#

解決する #C#.

#sqrt {（144 - PQ ^ 2）（PQ ^ 2 - 16）} = 16#

#（PQ ^ 2 - 144）（PQ ^ 2 - 16）= -256#

#PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256#

#（PQ ^ 2）^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0#

広場を完成させてください。

#（（PQ ^ 2）^ 2 - 80）^ 2 + 2560 = 80 ^ 2#

#（（PQ ^ 2）^ 2 - 80）^ 2 = 3840#

#PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15# または #PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15#

#PQ = 4平方フィート{5 +平方フィート15} ~~ 11.915# または

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246#

これは与えられた条件を満たす2種類の三角形があることを示しています。

三角形が最大の面積の場合、長さが13の辺は、三角形の辺のPQと同じになるようにします。 #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246#.

したがって、線形スケール比は

#13 / {4平方フィート{5 - 平方フィート15}} ~~ 3.061#

それゆえ、面積は線形スケール比の二乗である係数に拡大される。したがって、三角形Bの最大面積は次のようになります。

#4 xx（13 / {4 sqrt {5 - sqrt 15}}）^ 2 = 169/40（5 + sqrt 15）~~ 37.488#

同様に、三角形beの最小面積の場合、長さ13の辺は、三角形の辺PQと同じになるようにします。 #PQ = 4平方フィート{5 +平方フィート15} ~~ 11.915#.

したがって、線形スケール比は

#13 / {4平方フィート{5 +平方フィート15}} ~~ 1.091#

それゆえ、面積は線形スケール比の二乗である係数に拡大される。したがって、最小面積の三角形Bが持つことができるのは、

#4 xx（13 / {4 sqrt {5 + sqrt 15}}）^ 2 = 169/40（5 - sqrt 15）~~ 4.762#