A）とb）を使って、hatT_L = e ^（LhatD）（a）[hatT_L、hatD] = 0（b）[hatx、hatT_L] = - LhatT_L？を証明します。

あなたがそこに言っているものから何でも、それが我々がすることになっているように見えるのはそれを示すことだけです #hatT_L = e ^（ihatp_xL //ℏ）#。あなたがこの質問を得た場所が、の定義について混乱しているように見えます。 #hatT_L#.

我々はその使用を証明することになるでしょう

#hatT_L - = e ^（LhatD）= e ^（ihatp_xL //ℏ）#

与える

#hatD、hatx - = ihatp_x //ℏ、hatx = 1#

そして ではない #hatT_L = e ^（ - LhatD）#。私たちがすべてのものに一貫性を持たせたいのなら、 #hatT_L = e ^（ - LhatD）#それはそれでなければならないでしょう #hatD、hatx = bb（-1）#。私は質問を修正し、そしてすでにそれに対処しました。

パート1から、この定義のためにそれを示しました（ #hatT_L - = e ^（LhatD）#),

#hatx、hatT_L = -LhatT_L#.

以来 #f（x_0 - L）# の固有状態です #hatT_L#頭に浮かぶ直接形は指数演算子です #e ^（笑）#。私たちはそれを直感します #hatD = + ihatp_x //ℏ#そして、それが真実であることを示します。

第1部に示されている証明で、私達は書いたことを思い出してください。

#hatx（hatT_L f（x_0））=（hatx、hatT_L + hatT_Lhatx）f（x_0）#

#= -LhatT_Lf（x_0）+ hatT_Lhatxf（x_0）#

それが我々がそれを使わなければならないところです。やらなければいけないことは テイラー展開 指数演算子で、上記の証明がまだ成り立つことを示しています。

これもまたここで詳細に示されています。私はもっ と徹底的にそれを拡張しました…

#e ^（LhatD）= sum_（n = 0）^（oo）（LhatD）^（n）/（n！）= sum_（n = 0）^（oo）1 /（n！）L ^ n（ hatD）^ n#

それを与える #L# は定数であり、整流子から外に出すことができます。 #hatx# インデックスに依存せずに入ることができます。したがって：

#hatx、e ^（LhatD） = sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（L ^ n）hatx、hatD ^ n}#

今、私たちはそれを提案しました #hatD = ihatp_x //ℏ#そしてそれは私達がそれを知っているので理にかなっている：

#hatx、hatp_x f（x）=-iℏx（df）/（dx）+iℏd/（dx）（xf（x））#

#=キャンセル（-iℏx（df）/（dx）+iℏx（df）/（dx））+iℏf（x）#

そのため #hatx、hatp_x =iℏ#。それは限り #hatT_L = e ^（LhatD）#問題の両方の部分でCONSISTENT定義を取得して、次のように取得できます。

#色（青）（hatD "、" hatx）= （ihatp_x）/（ℏ）、hatx#

#= - （hatp_x）/（iℏ）、hatx = -1 /（iℏ）hatp_x、hatx#

#= -1 /（iℏ）cdot - hatx、hatp_x#

#= -1 /（iℏ）cdot-iℏ=色（青）（1）#

これから、整流子をさらに拡張します。

#hatx、e ^（ihatp_xL //ℏ） = sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（L ^ n）hatx、（（ihatp_x）/（ℏ））^ n }#

#= sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（（iL）/（ℏ））^ n hatx、hatp_x ^ n}#

今、私たちは知っています #hatx、hatp_x#しかし必ずしもそうとは限らない #hatx、hatp_x ^ n#。あなたは自分自身にそれを納得させることができます

#d ^ n /（dx ^ n）（xf（x））= x（d ^ nf）/（dx ^ n）+ n（d ^（n-1）f）/（dx ^（n-1） ）#

そしてそれ

#hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots#

#= （-iℏ）d /（dx） ^ n =（-iℏ）^ n（d ^ n）/（dx ^ n）#

そのため：

#hatx、hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx#

#= x cdot（-iℏ）^ n（d ^ nf）/（dx ^ n） - （-iℏ）^ n d ^ n /（dx ^ n）（xf（x））#

#=（-iℏ）^ nx（d ^ nf）/（dx ^ n） - （-iℏ）^ n（x（d ^ nf）/（dx ^ n）+ n（d ^（n-1）） f）/（dx ^（n-1）））#

#=（-iℏ）^ n {キャンセル（x（d ^ nf）/（dx ^ n）） - キャンセル（x（d ^ nf）/（dx ^ n）） - n（d ^（n-1） f）/（dx ^（n-1））}#

#=（-iℏ）^（n-1）（ - iℏ）（ - n（d ^（n-1）f）/（dx ^（n-1）））#

#=iℏn（-iℏ）^（n-1）（d ^（n-1））/（dx ^（n-1））f（x）#

私たちはそれを認識しています #hatp_x ^（n-1）=（ - iℏ）^（n-1）（d ^（n-1））/（dx ^（n-1））#。したがって、

#hatx、hatp_x ^ n =iℏnhatp_x^（n-1）#提供される #n> = 1#.

これより、

#hatx "、" e ^（ihatp_xL //ℏ） = sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（L ^ n）hatx、（（ihatp_x）/（ℏ）） ^ n}#

#= sum_（n = 1）^（oo）{1 /（n！）（（iL）/（ℏ））^ niℏnhatp_x^（n-1）}#

あなたが評価する場合はどこ #n = 0# つまり、ゼロになることがわかりますので、省略しました。進んで、我々は持っています：

#=iℏsum_（n = 1）^（oo）n /（n！）（（iL）/（ℏ））^ n hatp_x ^（n-1）#

#=iℏsum_（n = 1）^（oo）1 /（（n-1）！）（（iL）/ℏ）^（n-1）（（iL）/ℏ）hatp_x ^（n-1） ）#

ここで我々は単にこれを再び指数関数のように見せようとしている。

#=iℏ（（iL）/ℏ）sum_（n = 1）^（oo）（（（ihatp_xL）/ℏ）^（n-1）/（（n-1）！））#

（グループ用語）

#= -L sum_（n = 1）^（oo）（（ihatp_xL）/ℏ）^（n-1）/（（n-1）！）#

（外部評価）

#= -Lオーバーブレイス（sum_（n = 0）^（oo）（（ihatp_xL）/ℏ）^（n）/（n！））^（e ^（ihatp_xL //ℏ））#

（もし #n# ゼロから始まり、 #（n-1）#番目の用語は #n#番目の用語）

その結果、ついに次のようになります。

#=>色（青）（hatx "、" e ^（ihatp_xL //ℏ））= -Le ^（ihatp_xL //ℏ）#

# - = -Le ^（LhatD）#

# - =色（青）（ - LhatT_L）#

そしてまた元の整流子に戻りますつまり

#hatx、hatT_L = -LhatT_L色（青）（sqrt ""）#

最後に、それを見てみましょう #hatT_L、hatD = 0#.

#hatT_L、hatD = e ^（LhatD）、hatD#

#= sum_（n = 0）^（oo）（（LhatD）^ n）/（n！）、hatD#

#=（sum_（n = 0）^（oo）（（LhatD）^ n）/（n！））hatD - hatD（sum_（n = 0）^（oo）（（LhatD）^ n）/（n ！））#

これを明示的に書き出すと、うまくいくことがわかります。

#=色（青）（hatT_L "、" hatD）= （（LhatD）^ 0）/（0！）hatD +（（LhatD）^ 1）/（1！）hatD +）。 。 。 - hatD（（LhatD）^ 0）/（0！）+ hatD（（LhatD）^ 1）/（1！）+。 。 。 #

#=（（LhatD）^ 0）/（0！）hatD - hatD（（LhatD）^ 0）/（0！）+（（LhatD）^ 1）/（1！）hatD - hatD（（LhatD）^ 1）/（1！）+ 。 。 #

#= （（LhatD）^ 0）/（0！）、hatD + （LhatD）^（1）/（1！）、hatD +。 。 。 #

#= L ^ 0 /（0！）（hatD）^ 0、hatD + L ^ 1 /（1！）（hatD）^（1）、hatD +。 。 。 #

#=色（青）（sum_（n = 0）^（oo）L ^ n /（n！）（hatD）^ n "、" hatD）#

それ以来 #帽子D# 常に自分自身と通勤する #hatD ^ n、hatD = 0# したがって、

#hatT_L、hatD = 0# #色（青）（sqrt ""）#