負数の対数は何ですか？

負数の対数が実数で定義されていないのと同じように、負数の対数は実数で定義されていません。負の数の対数を見つけることが予想される場合は、ほとんどの場合、 "未定義"の回答で十分です。

それ です 1を評価することは可能ですが、答えは複素数になります。 （フォームの数 #a + bi#どこで #i = sqrt（-1）#)

複雑な数値に慣れていて、それらを使って快適に作業できると感じた場合は、次に読んでください。

まず、一般的な場合から始めましょう。

#log_b（-x）=？#

後で変更を簡単にするために、基本変更規則を使用して自然対数に変換します。

#log_b（-x）= ln（-x）/ lnb#

ご了承ください #ln（-x）# と同じものです #ln（-1 * x）#。対数の加算特性を利用して、この部分を2つのログに分けることができます。

#log_b（-x）=（lnx + ln（-1））/ lnb#

今の唯一の問題は何を考え出すことです #ln（-1）# です。最初は評価するのは不可能なことのように思えるかもしれませんが、Eulerのアイデンティティとして知られるかなり有名な方程式があります。

オイラーのアイデンティティはこう述べています。

#e ^（ipi）= -1#

この結果は、正弦と余弦のべき級数展開によるものです。 （私はそれをあまり深く説明しませんが、もし興味があれば、ここでもう少し詳しく説明する素晴らしいページがあります）

今のところ、オイラーのアイデンティティの両側の自然対数を単純にとりましょう。

#ln e ^（ipi）= ln（-1）#

簡体字

#ipi = ln（-1）#

だから、今我々は何を知っている #ln（-1）# つまり、式に代入することができます。

#log_b（-x）=（lnx + ipi）/ lnb#

今、あなたは負の数の対数を見つけるための公式を持っています。だから、私たちが何かを評価したいのなら #log_2 10#単純にいくつかの値を差し込むことができます。

#log_2（-10）=（ln10 + ipi）/ ln2#

#approx 3.3219 + 4.5324i#