回答：
#3#
説明：
みましょう
#x = sqrt（7 + sqrt（7-sqrt（7 + sqrt（7-sqrt（7-sqrt（7 + … oo#
正の平方根だけを取っているので、解が正になるように制限します。 #x> = 0#。両側に二乗している
#x ^ 2 = 7 + sqrt（7-sqrt（7 + sqrt（7-sqrt（7-sqrt（7 + … oo#
#=> x ^ 2-7 = sqrt（7-sqrt（7 + sqrt（7-sqrt（7-sqrt（7 + … oo#
今回は正の平方根だけが欲しいので、左辺を正にします。
#x ^ 2-7> = 0# #=># #x> = sqrt（7）〜= 2.65#
私達が可能性を排除したところ #x <= - sqrt（7）# 最初の制約を使う
私たちが持っている両側を再び二乗する
#（x ^ 2-7）^ 2#=#7-sqrt（7 + sqrt（7-sqrt（7-sqrt（7 + …….. oo#
#（x ^ 2-7）^ 2-7 = -sqrt（7 + sqrt（7-sqrt（7-sqrt（7 + …….. oo#）
繰り返し平方根の式は、の元の式です。 #バツ#だから、
#（x ^ 2-7）^ 2-7 = -x#
または
#（x ^ 2-7）^ 2-7 + x = 0#
この方程式の試行解は #x = -2# そして #x = + 3# これは次の因数分解になります
#（x + 2）（x-3）（x ^ 2 + x-7）= 0#
第3因子に二次公式を使用する #（x ^ 2 + x-7）= 0# もう2つのルーツがあります。
#（ - 1 + -sqrt（29））/ 2〜= 2.19 "と" -3.19#
多項式の4つの根は、 #-3.19…, -2, 2.19…, # そして #3#。これらの値の1つのみが、制約を満たします。 #x> = sqrt（7）〜= 2.65#だから、
#x = 3#
回答：
別の方法
説明：
次のような平方根が繰り返される問題について一目で解決策を見つけるためのトリッキーな方法を説明します。
#sqrt（r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt（r + sqrt（r + sqrt（r + …….. oo#
どこで #r# 次のシリーズに属する
#3,7,13,21,31…………#一般的な用語は
#m ^ 2-m + 1# どこで #mイプシロンN# そして #m> 1#
トリック
与えられた数から1を引いた場合 #m ^ 2-m + 1# 結果の数は #m ^ 2-m# どちらですか #m（m-1）# そしてこれは、2つの連続した数とこれら2つのうち大きいほうの数の積に他なりません。
r =のとき #m ^ 2-m + 1# の要因 #m ^ 2-m + 1-1# = #（m-1）m# そしてmは答えです
r = 3のとき、（3-1）= 2 = 1.2の因数、そして2が答えです。
r = 7のとき、（7-1）= 6 = 2.3の因数、そして3が答えです。
等々…….
説明
撮影
#x = sqrt（r + sqrt（r + sqrt（r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt（r + …….. oo#
両側を二乗する
#x ^ 2 = r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt（r + sqrt（r + …….. oo#
#x ^ 2 - r = sqrt（r - sqrt（r + sqrt（r - sqrt（r + sqrt（r + sqrt（r + …….. oo#
再び両側を二乗
#（x ^ 2-r）^ 2 = r-sqrt（r + sqrt（r-sqrt（r + sqrt（r + sqrt（r + ……..））
#（x ^ 2-r）^ 2-r = -x#
#（x ^ 2 - r）^ 2 - r + x = 0#
r =を置く #m ^ 2-m + 1#
#（x ^ 2-（m ^ 2-m + 1））^ 2-（m ^ 2-m + 1）+ x = 0#
この方程式のLHSにx = mを代入すると、LHSは次のようになります。
LHS =
#（m ^ 2-（m ^ 2-m + 1））^ 2-（m ^ 2-m + 1）+ m#
#=（キャンセル（m ^ 2） - キャンセル（m ^ 2）+ m-1））^ 2-（m ^ 2-m + 1-m）#
#=（m-1））^ 2-（m-1）^ 2 = 0#
方程式は満たされます。
それ故にmは答えである
入れましょう
#x = sqrt（7 + sqrt（7-sqrt（7 + sqrt（7-sqrt ….#
それは簡単にわかります
#sqrt（7 + sqrt（7-x））= x#
それでは、方程式を解いてみましょう：
#7 + sqrt（7-x）= x ^ 2#
#sqrt（7-x）= x ^ 2-7#
#7-x =（x ^ 2-7）^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49#
#x ^ 4-14 x ^ 2 + x + 42 = 0#
これは解決すべき自明の方程式ではありません。質問に答えた他の人のうちの1人が解決策3を参照しました。あなたがそれを試みるならば、あなたはそれが本当であるのを見るでしょう。
