回答：
合計は #= 2ln2-1#
説明：
シリーズの総称は #=（ - 1）^（n + 1）/（n（n + 1））#
部分分数に分解します
#1 /（n（n + 1））= A / n + B /（n + 1）#
#=（A（n + 1）+ Bn）/（n（n + 1））#
そう、
#1 = A（n + 1）+ Bn#
いつ #n = 0#, #=>#, #1 = A#
いつ #n = -1#, #=>#, #1 = -B#
したがって、
#1 /（n（n + 1））= 1 / n-1 /（n + 1）#
#（ - 1）^（n + 1）/（n（n + 1））=（ - 1）^（n + 1）/ n - （ - 1）^（n + 1）/（n + 1） #
#sum_1 ^ oo（-1）^（n + 1）/（n（n + 1））= sum_1 ^ oo（-1）^（n + 1）/ n-sum_0 ^ oo（-1）^（n +1）/（n + 1）#
#ln（1 + x）= sum_1 ^（oo）（ - 1）^（n + 1）/ n * x ^ n#
#sum_1 ^（oo）（ - 1）^（n + 1）/ n = ln2#
#sum_0 ^（oo）（ - 1）^（n + 1）/（n + 1）= sum_0 ^ 1（-1）^（n + 1）/（n + 1）-sum_1 ^ oo（-1） ^（n）x ^（n + 1）/（n + 1）#
#sum_0 ^ oo（-1）^（n）x ^（n + 1）/（n + 1）= 1 - ln（1 + x）#
#sum_0 ^（oo）（ - 1）^（n + 1）/（n + 1）= 1 - ln2#
#sum_1 ^ oo（-1）^（n + 1）/（n（n + 1））= ln2-（1-ln2）= 2ln2-1#
