回答：
に収束する #1 + i# （私のTi-83グラフ電卓で）
説明：
みましょう #S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}}#
まず、この無限級数が収束すると仮定する（すなわち、Ｓが存在し、複素数の値をとると仮定する）。
#S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}#
#S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}#
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}#
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S#
そして、あなたがSについて解くならば：
#S ^ 2 + 2 = 2 S、S ^ 2 - 2 S + 2 = 0#
そして得られた二次式を適用します。
#S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i#
通常、平方根関数は正の値をとります。 #S = 1 + i#
したがって、それが収束すればそれはに収束しなければならない。 #1 + i#
今あなたがしなければならないのはそれが収束することを証明することである、またはあなたが私のように怠惰であるならそれからあなたはプラグインすることができます # sqrt {-2}# 虚数を処理して再帰関係を使用することができる電卓に：
#f（1）= sqrt {-2}#
#f（n + 1）= sqrt {-2 + 2 sqrt {f（n）}#
私は私のTi - 83でこれを何度も繰り返しました、そして、私がおよそ20回のようにそれをどこかでそれを繰り返した後にそれが例えば近づくのを発見しました
#1.000694478 + 1.001394137i#
かなり良い近似
