回答：
波動関数は、振幅（絶対値）が確率分布を与える複素数値関数です。しかし、それは普通の波と同じようには振舞いません。
説明：
量子力学では、システムの状態について話します。最も単純な例の1つは、例えば電子のように、アップスピンまたはダウンスピンをすることができる粒子です。システムのスピンを測定するときは、アップまたはダウンするように測定します。測定の結果が確実である状態を、固有状態（one up state）と呼びます。
測定する前に、測定の結果がわからない状態もあります。これらの状態を重ね合わせと呼び、次のように書き留めます。
これで、このスピン状態に関数を割り当てようとしました。スピンの測定結果は2つしかないため、入力が2つしかない関数があります。関数を呼べば
今度は波動関数に目を向けます。粒子の一面はもちろんその位置です。スピンの場合とまったく同じように、場所の異なる値を測定できます。また、測定結果が事前に固定されていない状態になる可能性があります。パーティクルが存在する可能性のある無限の数の無限の位置があるので、この状態を次のように書き留めます。
すべての公平性において、歴史的には波動関数の概念はスピンの概念よりも古くなっていますが、ある程度スピンの概念を理解することは波動関数の理解に役立つと思います。
まず第一に、なぜ波動関数複素数が評価されるのでしょうか。第一の理由は、干渉の考え方にあります。粒子の波動関数はそれ自身と干渉する可能性があります。この干渉は、波動関数がある点で同じ絶対値を与える場合、波動関数を足し合わせることと関係があり、その点の周りの粒子を測定する確率は類似しています。ただし、関数の値は同じであれば異なる場合があります。それらを足し合わせると、振幅または確率密度が4になります。
第二の理由はシュレディンガー方程式に見いだすことができる。当初、これらの波動関数は古典的な波のように振舞うと考えられていました。しかし、シュレーディンガーがこれらの波の振る舞い、あるいは少なくとも時間の経過に伴うそれらの進化を記述しようとしたとき、彼は古典的な波を支配する方程式が適切ではないことを発見した。それが機能するためには、方程式に複素数を導入しなければならず、関数自体も同様に複素数でなければならず、方程式に現れる導関数の次数は古典的な波動方程式とは異なります。
方程式のこの違いはまたあなたの2番目の質問に答えます。波動関数の進化は古典的波動の進化とは大きく異なるため、古典波動物理学で使用しているのと同じ方法は使用できません。もちろん、使用できる幾何学的引数もありますが、量子物理学のすべての現象を説明するのに十分ではありません。さらに、波動関数は粒子の状態に関する多くの情報を提供しますが、観測可能なスピンと位置はお互いにほとんど関係がないので、それはスピンについて何も伝えません。
多分私はあなたが幾何学的な性質によってあなたが何を意味するのか誤って解釈している。あなたがおそらくあなたが何を意味するかの例を挙げてもらえますか。おそらくそれから私はあなたをさらに助けることができます。
の 波動関数 は、原子や分子などの量子力学系の状態を表します。
どちらかとして表すことができます
なぜなら 波 関数は明らかに以下のように振る舞うシステムを表します。 波 （それがと呼ばれることは偶然ではありません 波 機能！）、通常は 無制限 境界を持たない波動関数という事実を考えてみましょう
例：軌道の波動関数
しかし、軌道を例に取りましょう。のセットがあるはずです 境界条件 なぜなら、明らかに軌道は無限大ではないからです。
波動関数は、 原子軌道の線形結合 分子軌道を形成するには：
#色（青）（psi _（ "MO"））= sum_（i）c_iphi_i ^ "AO"#
# 色（青）（ｃ＿１φ＿（１ｓ） ｃ＿２φ（２ｓ） ｃ＿３φ（２ｐｘ） ｃ＿４φ（２ｐｙ） ｃ＿５φ（２ｐｚ） …）# どこで
#c_i# それは 膨張係数 問題となっている特定の分子軌道に対する各原子軌道の寄与を示す。#phi_i ^ "AO"# それは 実験/試行波動関数 各原子軌道に対して。
波動関数は軌道を表現できなければならないので、正の半径を持たなければなりません。
つまり、垂直線テストに合格し、曲線の下に有限の面積があり、ジャンプ/不連続/漸近線/中断がなく、次の2つの式を満たす必要があります。
#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0# （波動関数とその複素共役の積分は
#0# 波動関数が異なる場合）
#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1# （波動関数とその複素共役の積分は次のように正規化されます。
#1# 波動関数がの符号以外は同じならば#pmi# )
水素原子の球面座標における波動関数の式の一例は、
#色（青）（psi_（2pz）（r、θ、φ））= R_（21）（r）Y_（1）^（0）（θ、φ）#
#=色（青）（1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^（ "3/2"）（（Zr）/（a_0））e ^（ - Zr // 2a_0）costheta） #
考えるために、私は実際にこれを正規化するために時間を費やしました。私は他の2つとの直交性をチェックするのに時間さえかかりました
念のために、ここに私がスクラッチパッドで上でリンクしたことの付録があります。
#' '#
の正規化
の
#psi_（2pz）#
#= R_（nl）（r）Y_（l）^（m）（θ、φ）= R_（21）（r）Y_（1）^（0）（θ、φ）#
#= 1 / sqrt（32π）（Z /（a_0））^（3/2）（Zr）/（a_0）e ^（ - （Zr）/（2a_0））costheta# （マックァリー）
それは
# mathbf（int_（0）^（oo）R_（nl）^ "*"（r）R_（nl）（r）r ^ 2dr int_（0）^（pi）Y_（l）^（m）（ theta、phi）sintheta int_（0）^（2pi）dphi stackrel（？）（=）1）#
#1 / sqrt（32pi）（Z /（a_0））^（5/2） ^ 2 int_（0）^（oo）e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4dr int_（0 ）^（π）シンテタコス^2θシータint_（0）^（2π）dphi stackrel（？）（=）1#
#色（緑）（1 /（32pi）（Z / a_0）^ 5整数（0）^（oo）e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4dr stackrel（= "2/3"） （overbrace（int_（0）^（pi）sinthetacos ^ 2thetad theta））stackrel（= 2pi）（overbrace（int_（0）^（2pi）dphi））stackrel（？）（=）1）#
さて、クレイジーな部分である放射状の部分だけを調べると… 4つの部分による統合が始まります。
波動関数のラジアル成分の評価
パート1
みましょう：
#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - int - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3dr#
#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - 4int e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3dr}#
パート2
みましょう：
#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - 4 - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 - 3int - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2dr}#
#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 - 3int e ^ （ - （Zr）/（a_0））r ^ 2dr}#
パート3
みましょう：
#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 - 3 - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 2int - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））rdr}#
#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 +（3a_0） / Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 2int e ^（ - （Zr）/（a_0））rdr}#
パート4
みましょう：
#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 +（3a_0） / Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 2 { - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r - int - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））dr}}}#
#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 +（3a_0） / Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 +（2a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r - int e ^（ - （Zr）/（a_0） ））博士}}#
展開/単純化
#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - 4（（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 + （3a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 +（2a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r +（a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））}#
#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - （（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3 - 12（ （a_0）/ Z）^ 3 e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - （2a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r +（a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））}#
#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - （（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3 - 12（ （a_0）/ Z）^ 3e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 24（（a_0）/ Z）^ 4 {e ^（ - （Zr）/（a_0））r +（a_0） ）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））}#
#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - （（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3 - （（ a_0）/ Z）^ 3e ^（ - （Zr）/（a_0））12r ^ 2 - （（a_0）/ Z）^ 4e ^（ - （Zr）/（a_0））24r - 24（（a_0）/ Z）^ 5 e ^（ - （Zr）/（a_0））#
評価準備フォーム
#= | - e ^（ - （Zr）/（a_0））（a_0）/ Z r ^ 4 + 4（（a_0）/ Z）^ 2 r ^ 3 + 12（（a_0）/ Z）^ 3 r ^ 2 + 24（（a_0）/ Z）^ 4 r + 24（（a_0）/ Z）^ 5 | _（0）^（oo）#
前半はキャンセル することが
#=キャンセル（{ - e ^（ - （Zoo）/（a_0））（a_0）/ Z o ^ 4 + 4（（a_0）/ Z）^ 2 oo ^ 3 + 12（（a_0）/ Z） ^ 3 00 ^ 2 + 24（（a_0）/ Z）^ 4 00 + 24（（（a_0）/ Z）^ 5}）^（0） - { - e ^（ - （Z（0））/（ （（a_0）/ Z（0）^ 4 + 4（（a_0）/ Z）^ 2（0）^ 3 + 12（（a_0）/ Z）^ 3（0）^ 2 + 24（（ a_0）/ Z）^ 4（0）+ 24（（a_0）/ Z）^ 5}#
後半は単純化する することが
#=キャンセル（e ^（ - （Z（0））/（a_0）））^（1）キャンセル（（a_0）/ Z（0）^ 4）^（0）+キャンセル（4（（a_0）） / Z）^ 2（0）^ 3）^（0）+キャンセル（12（（a_0）/ Z）^ 3（0）^ 2）^（0）+キャンセル（24（（a_0）/ Z）^ 4（0））^（0）+ 24（（a_0）/ Z）^ 5#
#= 24（a_0 / Z）^ 5#
それでは、波動関数全体を見直しましょう。
#= 1 /（32π）（Z / a_0）^ 5（24（a_0 / Z）^ 5）（2/3）（2π）stackrel（？）（=）1#
#= 1 /（cancel（32）cancel（pi））cancel（（Z / a_0）^ 5）（cancel（16）cancel（（a_0 / Z）^ 5））（cancel（2）cancel（pi）） stackrel（？）（=）1#
#色（青）（1 = 1）#
はい！ 1つが同じものになります！ というのは…
波動関数は確かに正規化されています！ ：D
2p波動関数に対する相互直交性の証明
以下の波動関数を選択しましょう。
#psi_（2px）= 1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^ "3/2"（Zr）/（a_0）e ^（ - "Zr /" 2a_0）sinthetacosphi#
#psi_（2py）= 1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^ "3/2"（Zr）/（a_0）e ^（ - "Zr /" 2a_0）シンセタシンフィ#
#psi_（2pz）= 1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^ "3/2"（Zr）/（a_0）e ^（ - "Zr /" 2a_0）costheta#
それらが直交していることを示すには、それらのうちの少なくとも1つを示す必要があります。
#int _（ "全スペース"）psi_（2px）^ "*" psi_（2pz）d tau = 0#
そして帰納法から、ラジアル成分は同一であるので、残りを暗示することができます。言い換えると：
# mathbf（int_（0）^（oo）R_（nl、2px）^ "*"（r）R_（nl、2pz）（r）r ^ 2dr int_（0）^（pi）Y_（l）^ （m）（θ）sintheta int（0）^（2π）Y（l）^（m）（φ）dphi stackrel（？）（=）0）#
#色（緑）（1 /（32pi）（Z /（a_0））^ 5整数（0）^（oo）e ^（ - "Zr /" a_0）r ^ 4dr整数（0）^（pi）sin ^ 2 thetacosthetad theta int_（0）^（2pi）cospidphi stackrel（？）（=）0）#
ラジアル部分は
の
#色（緑）（int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta）#
みましょう：
#= int_（0）^（π）u ^ 2du#
#= 1/3 * | sin ^3θ | _（0）^（pi）#
#= 1/3 * sin ^ 3（π） - sin ^ 3（0）#
#= 1/3 * 0 - 0 =色（緑）（0）#
そして今
#色（緑色）（int_（0）^（2pi）コシフィ）#
#= | sinph | _（0）^（2pi）#
#= sin（2pi） - sin（0）#
みましょう：
#= int_（0）^（π）u ^ 2du#
したがって、全体的には
#色（青）（1 /（32pi）（Z /（a_0））^ 5 int_（0）^（oo）e ^（ - "Zr /" a_0）r ^ 4dr int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta int_（0）^（2pi）cospidphi）#
#=キャンセル（1 /（32π）（Z /（a_0））^ 5（24）（（a_0）/ Z）^ 5（0）（0））^（0）#
#=色（青）（0）#
以来
#int _（ "全スペース"）psi_（2px）^ "*" psi_（2pz）d tau = 0# の
#2p_z# そして#2p_x# 原子軌道は直交しています。
本当に、使用することとの主な違い
#color（green）（ "定数" int_（0）^（oo） "同じもの" dr int_（0）^（pi）sinθ3 theta int_（0）^（2pi）sinphicosphidphi stackrel（？）（=） 0）#
など：
#色（青）（int_（0）^（2pi）シンホスフィスフィ）
#= 1/2 | sin ^2φ | _（0）^（2pi）#
#= 1/2 sin ^ 2（2pi） - sin ^ 2（0） =色（青）（0）#
掛け算から
#int _（ "全スペース"）psi_（2px）^ "*" psi_（2py）d tau = 0# したがって、
#2p_x# そして#2p_y# 原子軌道は直交しています。
最後に、
#color（green）（ "定数" int_（0）^（oo） "同じもの" dr int_（0）^（pi）sin 2 thetacosthetad theta int_（0）^（2pi）sinphidphi stackrel（？）（=） 0）#
私たちは知っている
#色（青）（int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta）#
#= 1/3 * | sin ^3θ | _（0）^（pi）#
#= 1/3 * sin ^ 3（π） - sin ^ 3（0）#
#= 1/3 * 0 - 0 =色（青）（0）#
そして、全体の積分は再び消え、そして実際に