回答：
#root（4）（84）~~ 3.03#
説明：
ご了承ください #3^4 = 81#に近い #84#.
そう #ルート（4）（84）# より少し大きいです #3#.
より良い近似を得るために、線形近似、別名ニュートン法を使用することができます。
定義します。
#f（x）= x ^ 4-84#
その後：
#f '（x）= 4x ^ 3#
おおよそゼロ #x = a# の #f（x）#より良い近似は、
#a - （f（a））/（f '（a））#
だから私たちの場合は、入れて #a = 3#より良い近似は、
#3-（f（3））/（f '（3））= 3-（3 ^ 4-84）/（4（3）^ 3）= 3-（81-84）/（4 * 27） = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar（7）#
これはほぼ正確です #4# 有効数字ですが、近似を次のように引用しましょう。 #3.03#
回答：
#root（4）（84）~~ 3.02778#
説明：
点の近くの線形近似に注意してください。 #a# によって与えられることができます：
#f（x）~~ f（a）+ f '（a）（x-a）#
与えられた場合： #f（x）= root（4）（x）#
それからのための適切な選択 #a# だろう #a = 81# 知っているから #root（4）81 = 3# 正確にそしてそれは近い #84#.
そう：
#f（a）= f（81）= root（4）（81）= 3#
また。
#f（x）= x ^（1/4）# そう #f '（x）= 1 / 4x ^（ - 3/4）= 1 /（4root（4）（x）^ 3）#
#f '（81）= 1 /（4root（4）（81）^ 3）= 1 /（4 * 3 ^ 3）= 1/108#
したがって近似できます #81#):
#f（x）~~ f（a）+ f '（a）（x-a）#
#implies root（4）（x）~~ 3 + 1 /（108）（x-81）#
そう：
#root（4）（84）= 3 + 1/108（84-81）#
#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#
より正確な値は #3.02740#
そのため、線形近似はかなり近いです。
回答：
#root 4（84）~~ 3.02bar7#
説明：
私たちには次のような機能があると言えます。 #f（x）= root（4）（x）#
そして #root（4）（84）= f（84）#
それでは、関数の導関数を見つけましょう。
次のように記載されているべき乗則を使います。 #f（x）= x ^ n#それから #f '（x）= nx ^（n-1）# どこで #n# 定数です。
#f（x）= x ^（1/4）#
=>#f '（x）= 1/4 * x ^（1 / 4-1）#
=>#f '（x）=（x ^（ - 3/4））/ 4#
=>#f '（x）= 1 / x ^（3/4）* 1/4#
=>#f '（x）= 1 /（4x ^（3/4））#
さて、おおよそ #root（4）（84）#、私たちは84に最も近い完璧な4乗を見つけようとしています
どれどれ…
#1#
#16#
#81#
#256#
それがわかります #81# 私たちの最も近いものです。
私達は今私達の機能の接線を見つけるとき #x = 81#
=>#f '（81）= 1 /（4 * 81 ^（3/4））#
=>#f '（81）= 1 /（4 * 81 ^（2/4）* 81 ^（1/4））#
=>#f '（81）= 1 /（4 * 9 * 3）#
=>#f '（81）= 1/108#
これが私たちが探している斜面です。
接線の方程式を次の形で書いてみましょう。 #y = mx + b#
まあ、何ですか #y# に等しい #x = 81#?
どれどれ…
#f（81）= root（4）（81）#
=>#f（81）= 3#
したがって、我々は今持っています：
#3 = m81 + b# その斜面は #m#、です #1/108#
=>#3 = 1/108 * 81 + b# 我々は今解決することができます #b#.
=>#3 = 81/108 + b#
=>#3 = 3/4 + b#
=>#2 1/4 = b#
したがって、接線の方程式は #y = 1/108 x + 2 1/4#
私達は今の代わりに84を使用しています #バツ#.
=>#y = 1/108 * 84 + 2 1/4#
=>#y = 1/9 * 7 + 2 1/4#
=>#y = 7/9 + 9/4#
=>#y = 28/36 + 81/36#
=>#y = 109/36#
=>#y = 3.02bar7#
したがって、 #root 4（84）~~ 3.02bar7#
