2問以上の質問に対して、試験官が8問に30点を割り当てることができる方法の数は何ですか？

回答：

#259459200#

説明：

私がこれを正しく読んでいるのなら、審査官が2の倍数でしか印をつけることができないのであれば、これは30の印のうち15の選択肢しかないことを意味するでしょう。 #30/2 = 15#

次に、8つの質問に15の選択肢があります。

置換の公式を使う：

#（n！）/（（n - r）！）#

どこで #n# オブジェクトの数です（この場合、2のグループ内のマーク）。

そして #r# 一度にどれだけの数が取られるか（この場合は8つの質問）

だから我々は持っています：

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

回答：

がある # "" _ 21C_14# （または116,280）方法。

説明：

私達は与えるべき「銀行」の30の印から始めます。すべての質問は最低2点の価値があるはずなので、 #2 xx 8 = 16# からのマーク #30# そしてそれらを平等に分配する。各質問は2つ（これまで）あり、 "bank"は次のようになっています。 #30-16=14# マーク

今度は、8つの質問のうち残りの14のマークを分割する方法の数を見つける必要があります。最初は、これは非常に困難に思えるかもしれませんが、それをはるかに直観的にするトリックがあります。

ちょっと物事を単純化しましょう。 2つの質問と、それらに分割するための14のマークしかないとしたらどうでしょうか。それにはいくつの方法がありますか。ええと、マークを14 + 0、13 + 1、12 + 2などに分割することができます。…または1 + 13、または0 + 14など。 2つの質問の間に）、15通りの方法があります。

これは、「黄色の大理石（マーク）を14個、青い大理石（質問のスプリッタ）を1個並べるには、いくつのユニークな方法がありますか」と尋ねるのと同じです。これに対する答えは、全15個の大理石の順列の数を計算することでわかります。 #15!#次に、両方の黄色い大理石を並べ替える方法の数で割る #(14!)# と青いビー玉 #(1!)#各配置内で、同じ順序のビー玉がどの順序で表示されるかは重要ではありません。

したがって、14個の黄色い大理石（マーク）と1個の青い大理石（質問分割器）があると、

#（15！）/（14！xx1！）=（15xxcancel（14！））/（cancel（14！）xx1）= 15/1 = 15#

大理石を配置する15の方法（マークを分割）。注：これはに等しい # "" _ 15C_14#.

もう1つの青い大理石、つまり2つ目の分割、または3つ目の質問を使ってマークを付けます。今、私たちは合計16個のビー玉を持っています、そしてそれらをどのようにアレンジできるかを知りたいのです。以前と同様に、 #16!# すべての大理石を並べ替える方法、それから黄色いものを並べ替える方法で分割する #(14!)# そして青いもの #(2!)#:

#（16！）/（14！xx2！）=（16xx15xxcancel（14！））/（キャンセル（14！）xx2xx1）=（16xx15）/（2）= 120#

だから、3つの質問の間に14のマークを分割する120の方法があります。これもまた等しい # "" _ 16C_14#.

今までに、あなたは私たちが向かっているところに気付くかもしれません。の左側の番号 #C# 分割しているマークの数と同じです（黄色いビー玉） プラス スプリッタ（青いビー玉）の数スプリッタの数は常に 1つ少ない 質問の数の右側の番号 #C# マークの数は残ります。

したがって、残りの14個のマークを8個の質問すべてに分割するには（7個のスプリッタが必要です）、次のように計算します。

# "" _（14 + 7）C_14 = "" _ 21C_14#

#色（白）（ "" _（14 + 7）C_14）=（21！）/（7！xx14！）#

#色（白）（ "" _（14 + 7）C_14）= "116,280"#

そのため、8つの質問に30のマークを割り当てるには116,280の方法があります。各質問は少なくとも2つのマークの価値があります。