N個の整数の和に対する公式を知ることa）最初のN個の連続する正方整数の和は何であるか、Sigma_（k = 1）^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots +（N-1） ^ 2 + N ^ 2？ｂ）最初のＮ個の連続した立方体整数の合計Σ＿（ｋ１）Ｎｋ３？

回答：

にとって #S_k（n）= sum_ {i = 0} ^ n i ^ k#

#S_1（n）=（n（n + 1））/ 2#

#S_2（n）= 1/6 n（1 + n）（1 + 2 n）#

#S_3（n）=（（n + 1）^ 4-（n + 1）-6S_2（n）-4S_1（n））/ 4#

説明：

我々は持っています

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n（i + 1）^ 3 - （n + 1）^ 3#

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1-（n + 1）^ 3#

#0 = 3sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ n i + sum_ {i = 0} ^ n 1-（n + 1）^ 3#

を解決する #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2#

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 =（n + 1）^ 3 / 3-（n + 1）/ 3-sum_ {i = 0} ^ n i#

しかし #sum_ {i = 0} ^ n i =（（n + 1）n）/ 2# そう

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 =（n + 1）^ 3 / 3-（n + 1）/ 3 - （（n + 1）n）/ 2#

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 = 1/6 n（1 + n）（1 + 2 n）#

同じ手順を使用して #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3#

#sum_ {i = 0} ^ n i ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ n（i + 1）^ 4 - （n + 1）^ 4#

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 + 4sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4sum_ {i = 0 } ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1-（n + 1）^ 4#

#0 = 4sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1-（n + 1）^ 4#

#0 = 4S_3（n）+ 6S_2（n）+ 4S_1（n）+（n + 1） - （n + 1）^ 4#

を解決する #S_3（n）#

#S_3（n）=（（n + 1）^ 4-（n + 1）-6S_2（n）-4S_1（n））/ 4#

ここに #S_k（n）= sum_ {i = 0} ^ n i ^ k#