回答：
交差曲線は次のようにパラメータ化することができます。 #（z、r）=（（81/2）sin 2 theta、9）#.
説明：
ベクトル関数とはどういう意味ですか。しかし、私はあなたが質問文の中で二つの面の間の交差曲線を表現しようとしていることを理解しています。
円柱はのまわりに対称的なので #z# 軸、円柱座標で曲線を表現する方が簡単かもしれません。
円柱座標に変更します。
#x = r cos theta#
#y = r sin theta#
#z = z#.
#r# からの距離です #z# 軸と # theta# からの反時計回りの角度です。 #バツ# の軸 #x、y# 飛行機。
それから最初の表面は
#x ^ 2 + y ^ 2 = 81#
#r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81#
#r ^ 2 = 81#
#r = 9#, ピタゴラスの三角法のアイデンティティのため。
第二面は
#z = xy#
#z = rcos theta rsin theta#
#z = r ^ 2sin theta cos theta#.
最初の曲面の方程式から、交差する曲線は2乗距離になければならないことがわかりました。 #r ^ 2 = 81# それを与える最初の表面から
#z = 81 sin theta cos theta#, #z =（81/2）sin2 theta#, によってパラメータ化された曲線 # theta#。最後のステップは三角法によるアイデンティティーで、個人的な好みから行われます。
この式から、曲線は1自由度を持つので、実際には曲線であることがわかります。
結局のところ、曲線は次のように書くことができます。
#（z、r）=（（81/2）sin 2 theta、9）#, これは単一変数のベクトル値関数です。 # theta#.
回答：
下記参照。
説明：
の交差点を考える
#C_1 - > {（x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2）、（RRのz）：}#
と
#C_2-> z = x y#
または #C_1 nn C_2#
我々は持っています
#{（x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2）、（x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2）：}#
今のために解決 #x ^ 2、y ^ 2# パラメトリック曲線を得る
#{（x ^ 2 = 1/2（r ^ 2-sqrt（r ^ 2-4 z ^ 2）））、（y ^ 2 = 1/2（r ^ 2 + sqrt（r ^ 2-4 z） ^ 2）））：}# または
#{（x = pm sqrt（1/2（r ^ 2-sqrt（r ^ 2-4 z ^ 2））））、（y = pm sqrt（1/2（r ^ 2 + sqrt（r ^ 2） -4 z ^ 2）））：}#
どれが本当ですか
#r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 r誤差z（r / 2）^ 2#
交差曲線を赤で表示するプロット（片葉）を添付しました。
