回答：
帰納法による証明は以下のとおりです。
説明：
帰納法によってこのアイデンティティを証明しましょう。
A. #n = 1# それを確認する必要があります
#（２ｃｏｓ（２θ） １）／（２ｃｏｓθ １） ２ｃｏｓθ １#
確かに、アイデンティティを使う #cos（2θ）= 2cos ^2θ-1#、それがわかります
#2cos（2θ）+1 = 2（2cos ^ 2θ-1）+ 1 = 4cos ^ 2θ-1 =#
# （２ｃｏｓθ １）×（２ｃｏｓθ １）#
それからそれは続きます
#（２ｃｏｓ（２θ） １）／（２ｃｏｓθ １） ２ｃｏｓθ １#
だから、のために #n = 1# 私たちのアイデンティティは真実です。
B.アイデンティティが真実であると仮定する #n#
だから、我々はそれを仮定
#（2cos（2 ^η）+1）/（2cos（θ）+1）= Pi _（j in 0、n-1）2cos（2 ^ jtheta）-1#
（シンボル #パイ# 製品に使用されます）
C.上記の仮定Bを使って、のアイデンティティを証明しましょう。 #n + 1#
仮定Bから次のように証明する必要があります。
#（2cos（2 ^（n + 1）θ）+1）/（2cosθ+ 1）= Pi _（j in 0、n）2cos（2 ^jθ）-1#
（乗算のインデックスに対する正しい境界は #n# 今）。
証明
アイデンティティを使う #cos（2x）= 2cos ^ 2（x）-1# にとって #x = 2 ^ ntheta#, #2cos（2 ^（n + 1）θ）+ 1 = 2cos（2 *（2 ^ n *θ））+ 1 =#
#= 2 2cos ^ 2（2 ^ ntheta）-1 + 1 =#
#= 4cos ^ 2（2 ^ ntheta）-1 =#
#= 2cos（2 ^ ntheta）-1 * 2cos（2 ^ ntheta）+1#
開始式と終了式をで割る #2cos（θ）+1#、 取得
#2cos（2 ^（n + 1）θ）+1 / 2cos（θ）+1 =#
#= 2cos（2 ^η）-1 * 2cos（2 ^η）+1 / 2cos（θ）+1#
今度は仮定Bを使って
#2cos（2 ^（n + 1）θ）+1 / 2cos（θ）+1 =#
#= 2cos（2 ^η）-1 * Pi _（j in 0、n-1）2cos（2 ^ jtheta）-1 =#
#= Pi _（j in 0、n）2cos（2 ^ jtheta）-1#
（インデックスの範囲が今では #n#).
最後の式はまったく同じです。 #n + 1# 元のようにです #n#。これは、私たちの公式がすべての人に当てはまるという帰納法による証明を完成させる #n#.
回答：
以下の説明の項の証明を参照してください。
説明：
これは次のことを証明するのと同じです。
#（2cosx + 1）（2cosx-1）（2cos2x-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）=（2cos2 ^ nx + 1）#
#「The L.H.S。」= {（2cosx + 1）（2cosx-1）}（2cos2x-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#= {4cos ^ 2x-1}（2cos2x-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#= {4（（1 + cos2x）/ 2）-1}（2cos2x-1）（2cos4x-1）….（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#=（2cos 2 x + 1）（2 cos 2 x-1）（2 cos 4 x-1）…（2 cos 2 ^（n-1）x-1）#
#=（4cos ^ 2（2x）-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#=（2cos（2 * 2x）+ 1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#=（2cos4x + 1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#=（2cos8x + 1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#vdots#
#= {2cos（2 * 2 ^（n-1）x）+ 1）}#
#=（2cos 2 ^ nx + 1）#
#= "the R.H.S"#
数学をお楽しみください。
