回答：
#I = x * tan ^ -1（4x）-1 / 4log | sqrt（1 + 16x ^ 2）| + C#
#= x * tan ^ -1（4x）-1 / 8log |（1 + 16x ^ 2）| + C#
説明：
#（1）I = inttan ^ -1（4x）dx#
しましょう、 #tan ^ -1（4x）= urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udu##rArrdx = 1/4秒^ 2udu#
#I = intu * 1/4秒^ 2udu = 1 / 4intu *秒^ 2udu#
部品による統合の使用 #I = 1/4 u * intsec ^ 2udu-int（d /（du）（u）* intsec ^ 2udu）du = 1/4 u * tanu-int1 * tanudu##= 1/4 u * tanu-log | secu | + C##= 1/4 tan ^ -1（4x）*（4x）-log | sqrt（1 + tan ^ 2u | + C##= x * tan ^ -1（4x）-1 / 4log | sqrt（1 + 16x ^ 2）| + C#
第二の方法：
#（2）I = int1 * tan ^ -1（4x）dx##= tan ^ -1（4x）* x-int（1 /（1 + 16x ^ 2）* 4）xdx#
#= x * tan ^ -1（4x）-1 / 8int（32x）/（1 + 16x ^ 2）dx#
#= x * tan ^ -1（4x）-1 / 8log | 1 + 16x ^ 2 | + C#
