回答：
下記を参照してください。
説明：
私たちは取る 、
#LHS = tan 20 ^ circ + tan 80 ^ circ + tan 140 ^ circ#
#色（白）（LHS）= tan20 ^ circ + tan（60 ^ circ + 20 ^ circ）+ tan（120 ^ circ + 20 ^ circ）#
#色（白）（LHS）#=#tan20 ^ circ +（tan60 ^ circ + tan20 ^ circ）/（1-tan60 ^ circtan20 ^ circ）+（tan120 ^ circ + tan20 ^ circ）/（1-tan120 ^ circtan20 ^ circ）#
代替 #色（青）（tan60 ^ circ = sqrt3、tan120 ^ circ = -sqrt3およびtan20 ^ circ = t#
#LHS = t +（sqrt 3 + t）/（1 - sqrt 3 t）+（ - sqrt 3 + t）/（1 + sqrt 3 t）#
#色（白）（LHS）= t + {（sqrt3 + t）（1 + sqrt3t）+（ - sqrt3 + t）（1-sqrt3t））/（（1-sqrt3t）（1 + sqrt3t））#
#色（白）（LHS）= t +（sqrt3 + 3t + t + sqrt3t ^ 2-sqrt3 + 3t + t-sqrt3t ^ 2）/（1-3t ^ 2）#
#色（白）（LHS）= t +（8t）/（1-3t ^ 2）#
#色（白）（LHS）=（t-3t ^ 3 + 8t）/（1-3t ^ 2）#
#色（白）（LHS）=（9t-3t ^ 3）/（1-3t ^ 2）#
#色（白）（LHS）= 3 （3t-t ^ 3）/（1-3t ^ 2）二辺、色（青）（t = tan20 ^ circ#）
#色（白）（LHS）= 3 （3tan20 ^ circ-tan ^ 3 20 ^ circ）/（1-3tan ^ 2 20 ^ circ）#
#色（白）（LHS）= 3 tan3（20 ^ circ） toApply（2）# にとって #theta = 20 ^ circ#
#LHS = 3tan60 ^ circ#
#LHS = 3sqrt3 = RHS#
注意 ：
#（1）tan（A + B）=（tanA + tanB）/（1-tanAtanB）#
#（2）tan3θ=（3tantheta-tan ^3θ）/（1-3tan ^2θ）#
#LHS = tan20 + tan80 + tan140#
#= tan20 + tan80 + tan（180-40）#
#= tan20 + tan80-tan 40#
#= tan20 + sin 80 / cos 80 - sin 40 / cos 40#
#= sin 20 / cos 20+（sin 80 cos 40 - cos 80 sin 40）/（cos 80 cos 40）#
#=（sin 20cos 80cos 40 + sin 40cos 20）/（cos 20cos 80cos 40）#
今この表現の分母
#= cos 20cos 80cos 40#
#=（4 * 2sin 20cos 20cos 40cos 80）/（8sin 20）#
#=（2 * 2sin 40cos 40cos 80）/（8sin 20）#
#=（2sin 80cos 80）/（8sin 20）#
#=（罪160）/（8罪20）#
#=（sin（180-20））/（8sin 20）#
#=（sin 20）/（8sin 20）#
#=1/8#
それゆえ
#LHS = 8（sin 20cos 80cos 40 + sin 40cos 20）#
#= 4sin 20 *（2cos 80cos 40）+ 4 * 2sin 40cos 20#
#= 4 sin 20（cos 120 + cos 40）+ 4（sin 60 + sin 20）#
#= 4sin 20（-1 / 2 + cos 40）+ 4（sqrt3 / 2 + sin 20）#
#= - 2sin 20 + 4sin 20cos 40 + 2sqrt3 + 4sin 20#
#= 4sin 20cos 40 + 2sqrt3 + 2sin 20#
#= 2（sin 60-sin 20）+ 2sqrt3 + 2sin 20#
#= 2（sqrt3 / 2-sin 20）+ 2sqrt3 + 2sin 20#
#= sqrt3-2sin 20 + 2sqrt3 + 2sin 20#
#= 3sqrt3#
anwerを利用した面白いアプローチ #3sqrt3# 与えられた。
私達は知っているように私達は次の通りLHSを書くことができる #sqrt3 = tan 60#
#LHS =日焼け20 +日焼け80 +日焼け140#
#= 3sqrt3 +（tan 20-tan 60）+（tan 80-tan 60）+（tan 140-tan 60）#
#= 3sqrt3 +（tan 20-tan 60）+（tan 80-tan 60）+（tan（180-40）-tan 60）#
#= 3sqrt3 +（tan 20-tan 60）+（tan 80-tan 60） - （tan 40 + tan 60）#
#= 3sqrt3 +（sin 20 / cos 20 - sin 60 / cos 60）+（sin 80 / cos 80 - sin 60 / cos 60） - （sin 40 / cos 40 + sin 60 / cos 60）#
#= 3sqrt3-sin（60-20）/（cos 20cos 60）+ sin（80-60）/（cos 80cos 60） - sin（60 + 40）/（cos 40 cos 60）#
#= 3sqrt3-（2sin 40）/ cos 20+（2sin 20）/ cos 80-（2sin 100）/ cos 40#
#= 3sqrt3-（4sin 20cos 20）/ cos 20+（4sin 10 cos 10）/ sin 10-（4sin 40cos 40）/ cos 40#
#= 3sqrt3-4sin 20 + 4cos 10-4sin 40#
#= 3sqrt3-4（sin 20 + sin 40）+ 4cos 10#
#= 3sqrt3-4（2 sin 30cos10）+ 4cos 10#
#= 3sqrt3-4（2 * 1/2 * cos10）+ 4cos 10#
#= 3sqrt3-4cos 10 + 4cos 10#
#= 3sqrt3#
回答：
以下の説明
説明：
#x = tan20 + tan80 + tan140#
=#sin20 / cos20 + sin80 / cos80 + tan（180-40）#
=#（cos80 * sin20 + sin80 * cos20）/（cos80 * cos20）-tan40#
=#sin（80 + 20）/（cos80 * cos20）-sin40 / cos40#
=#sin100 /（cos80 * cos20）-sin40 / cos40#
=#sin80 /（cos80 * cos20）-sin40 / cos40#
=#（sin80 * cos40 - cos80 * sin40 * cos20）/（cos80 * cos40 * cos20）#
=#（sin20 *（8sin80 * cos40-8cos80 * sin40 * cos20））/（8cos80 * cos40 * cos20 * sin20）#
=#（sin20 *（4sin120 + 4sin40-4cos20 *（sin120-sin40）））/（4cos80 * cos40 * sin40）#
=#（sin20 *（4sin120 + 4sin40-4sin120 * cos20 + 4sin40 * cos20）））/（2cos80 * sin80）#
=#（sin20 *（4sin60 + 4sin40-4sin60 * cos20 + 4sin40 * cos20））/（sin160）#
=#（sin20 *（4sin60 + 4sin40-2sin80-2sin40 + 2sin60 + 2sin20））/（sin20）#
=#6sin60 + 2sin40-2sin80 + 2sin20#
=#3sqrt3 + 2sin20-（2sin80-2sin40）#
=#3sqrt3 + 2sin20-4cos60 * sin20#
=#3sqrt3 + 2sin20-2sin20#
=#3sqrt3#
