回答：
#（ln（x ^ 2 + 1））/ x ^ 2 = sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1）/ nx ^（2n-2）= 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 …#
説明：
我々は次のMaclaurinシリーズを知っています #ln（x + 1）#:
#ln（x + 1）= sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1）/ nx ^ n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 …#
私達はのためのシリーズを見つけることができます #ln（x ^ 2 + 1）# すべてを交換して #バツ#とあります #x ^ 2#:
#ln（x ^ 2 + 1）= sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1）/ n（x ^ 2）^ n#
今、私たちはただ割ることができます #x ^ 2# 我々が探しているシリーズを見つけるために：
#（ln（x ^ 2 + 1））/ x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1）/ nx ^（2n）=#
#= sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1）/ n * x ^（2n）/ x ^ 2 = sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1 ）/ nx ^（2n-2）=#
#= x ^（2-2）-x ^（2 * 2-2）/ 2 + x ^（3 * 2-2）/ 3-x ^（4 * 2-2）/ 4 … =#
#= 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 …#
これは私たちが探していたシリーズです。
