回答：
法線： #y =（x-2-e ^ 4）/ e ^ 2#。接線： #y = e ^ 2x -e ^ 2#.
説明：
直感的には： #f（x、y）= e ^ x ln（y） - xy# 地形の高さを表します。 #バツ# そして #y# 平面上の座標 #ln（y）# は自然対数と見なされます。それからすべて #（x、y）# そのような #f（x、y）= a# （高さ）は定数に等しい #a# はレベルカーブと呼ばれます。私達の場合一定の高さ #a# ゼロなので #f（x、y）= 0#.
あなたは地形図に精通しているかもしれません。そこでは閉じた線は等しい高さの線を示します。
今グラデーション #grad f（x、y）=（（部分f）/（部分x）、（部分f）/（部分x））=（e ^ x ln（y） - y、e ^ x / y - x） # ある時点での方向を示します #（x、y）# その中で #f（x、y）# （高さ）が一番速く変わります。これは、地形が滑らか（微分可能）で、上、下、または高原（極値点）にない限り、丘をまっすぐ上るか下がるかのどちらかです。これは実際には次のように一定の高さの曲線に対する法線方向です。 #（x、y）=（2、e ^ 2）#:
#grad f（2、e ^ 2）=（e ^ 2 ln（e ^ 2） - e ^ 2、e ^ 2 / e ^ 2 - 2）=（e ^ 2、-1）#.
したがって、 法線 その方向に #（2、e ^ 2）# として記述することができます
#（x、y）=（2、e ^ 2）+ s（e ^ 2、-1）#, どこで mathbbRの#s# 実パラメータです。あなたは排除することができます #s# 表現するために #y# の関数として #バツ# あなたが好めば、見つけるために
#y =（x-2-e ^ 4）/ e ^ 2#.
接線方向の方向微分は、つぎのようになります。 #0# （高さは変わらないことを意味します）、接線ベクトル #（u、v）# 満たさなければならない
#grad f（2、e ^ 2）cdot（u、v）= 0#
#（e ^ 2、-1）cdot（u、v）= 0#
#e ^ 2u - v = 0#
#v = e ^ 2u#, どこで #cdot# ドット積を意味します。そう #（u、v）=（1、e ^ 2）# 有効な選択肢の1つです。したがって、 接線 を通過する #（2、e ^ 2）# として記述することができます
#（x、y）=（2、e ^ 2）+ t（1、e ^ 2）#, #t in mathbbR#.
を解決する #y# それを与える
#y = e ^ 2x -e ^ 2#.
あなたは最後にそれをチェックする必要があります #（2、e ^ 2）# 曲線上にあります #f（x、y）#、接線、法線上にあります。
