回答：
考えて #t ^ 3-21t-90 = 0#
これには1つのRealルートがあります #6# 別名 #（45 + 29sqrt（2））^（1/3）+（45-29sqrt（2））^（1/3）#
説明：
次の方程式を考えてください。
#t ^ 3-21t-90 = 0#
それを解決するためにカルダノの方法を使ってみましょう。 #t = u + v#
その後：
#u ^ 3 + v ^ 3 + 3（uv-7）（u + v）-90 = 0#
の用語を削除するには #（u + v）#制約を追加する #uv = 7#
その後：
#u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0#
で乗算 #u ^ 3# そして二次方程式を得るために並べ替える #u ^ 3#:
#（u ^ 3）^ 2-90（u ^ 3）+343 = 0#
二次式によると、これには根があります。
#u ^ 3 =（90 + -sqrt（90 ^ 2-（4 * 343）））/ 2#
#色（白）（u ^ 3）= 45 + - 1/2平方フィート（8100-1372）#
#色（白）（u ^ 3）= 45 + - 1/2平方フィート（6728）#
#色（白）（u ^ 3）= 45 + - 29sqrt（2）#
これは実数であり、導出は次の式で対称的だったので #u# そして #v#これらの根の1つを #u ^ 3# その他 #v ^ 3# 本当のゼロを推測するために #t ^ 3-21t-90# です：
#t_1 = root（3）（45 + 29sqrt（2））+ root（3）（45-29sqrt（2））#
しかし、我々は見つけます：
#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#
だから本当のゼロ #t ^ 3-21t-90# です #6#
そう #6 = root（3）（45 + 29sqrt（2））+ root（3）（45-29sqrt（2））#
#色（白）（）#
脚注
三次方程式を見つけるために、私はカルダノの方法を逆に使いました。
回答：
#N = 6#
説明：
作る #x = 45 + 29平方メートル（2）# そして #y = 45-29 sqrt（2）# それから
#（x ^（1/3）+ y ^（1/3））^ 3 = x + 3（xy）^（1/3）x ^（1/3）+ 3（xy）^（1/3） ）y ^（1/3）+ y#
#（x y）^（1/3）=（7 ^ 3）^（1/3）= 7#
#x + y = 2 xx 45#
そう
#（x ^（1/3）+ y ^（1/3））^ 3 = 90 + 21（x ^（1/3）+ y ^（1/3））#
または電話 #z = x ^（1/3）+ y ^（1/3）# 我々は持っています
#z ^ 3-21 z-90 = 0#
と #90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5# そして #z = 6# 根はそうです
#x ^（1/3）+ y ^（1/3）= 6#
