回答：
#f# 凸である #RR#
説明：
それを解決したと思います。
#f# で微分可能である #RR# そう #f# そして #f '# 連続している #RR#
我々は持っています #（f '（x））^ 3 + 3f'（x）= e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7#
得られた両方の部分を区別する
#3 *（f '（x））^ 2f' '（x）+ 3f' '（x）= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2# #<=>#
#3f ''（x）（（f '（x））^ 2 + 1）= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2#
- #f '（x）^ 2> = 0# そう #f '（x）^ 2 + 1> 0#
#<=># #f ''（x）=（e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2）/（3（（f '（x））^ 2 + 1）> 0）#
分子の符号が必要なので新しい関数を考えます
#g（x）= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2# , #バツ##に##RR#
#g '（x）= e ^ x-cosx + 6x#
それに気づく #g '（0）= e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0#
にとって #x =π# #=># #g '（π）= e ^π-cosπ+6π= e ^π+ 1 +6π> 0#
にとって #x =-π# #g '（ - π）= e ^（ - π）-cos（-π）-6π= 1 / e ^π+cosπ-6π= 1 / e ^π-1-6π<0#
の単調さを示すこの表がようやく得られます。 #g#
想定される #I_1 =（ - oo、0# そして #I_2 = 0、+ oo）#
#g（I_1）= g（（ - - oo、0）= g（0）、lim_（xrarr-oo）g（x））= 3、+ oo）#
#g（I_2）= g（0、+ oo））= g（0）、lim_（xrarr + oo）g（x））= 3、+ oo）#
なぜなら
- #lim_（xrarr-oo）g（x）= lim_（xrarr-oo）（e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2）#
#| sinx | <= 1# #<=># #-1 <= - sinx <= 1# #<=>#
#e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1# #<=>#
#e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=>#
#e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g（x）<= e ^ x + 3x ^ 2 + 3#
#lim_（xrarr-oo）（e ^ x + 3x ^ 2 + 1）= + oo = lim_（xrarr-oo）（e ^ x + 3x ^ 2 + 3x）#
したがって、 #lim_（xrarr-oo）g（x）= + oo#
- #lim_（xrarr + oo）g（x）= lim_（xrarr + oo）（e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2）#
同じプロセスで、
#e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g（x）<= e ^ x + 3x ^ 2 + 3#
しかしながら、 #lim_（xrarr + oo）（e ^ x + 3x ^ 2 + 1）= + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3#
したがって、 #lim_（xrarr + oo）g（x）= + oo#
の範囲 #g# になります：
#R_g = g（D_g）= g（I_1）uug（I_2）= 3、+ oo）#
つまり
#{（g（x）> 0 "、"x RR）、（g（x）<0 "、"x RR）：}#
したがって、 #g（π）= e ^π-sinπ+3π^ 2 + 2 = e ^π+3π^ 2 + 2> 0#
結果として #g（x）> 0#, #バツ##に##RR#
そして #f ''（x）> 0#, #バツ##に##RR#
#-># #f# 凸である #RR#
回答：
下記参照。
説明：
与えられた #y = f（x）# 曲線の曲率半径は
#rho =（1+（f '）^ 2）^（3/2）/（f' '）# そう与えられた
#（f '）^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7# 我々は持っています
#3（f '）^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2# または
#f ''（1+（f '）^ 2）= 1/3（e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2）# または
#1 /（f ''（1+（f '）^ 2））= 3 /（e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2）# または
#rho =（1+（f '）^ 2）^（3/2）/（f' '）=（3（1+（f'）^ 2）^（5/2））/（e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2）#
今分析中 #g（x）= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2# 我々は持っています
#min g（x）= 0# にとって RR#の#x そう #g（x）ge 0# それから曲率
#ρ=（3（1+（f '）^ 2）^（5/2））/（e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2）# 符号が変わらないので、結論を出す #f（x）# エピグラフはで凸 #RR#
