教室には7人の子供がいます。彼らはどのように多くの方法で後退のために並べることができますか？

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

この問題は 順列。並べ替えと組み合わせの違いは、並べ替えでは順序の問題があることを思い出してください。問題が学生が不況のためにどれだけ多くの方法を並べることができるか（すなわち、いくつの異なる注文）を尋ねるとすれば、これは順列です。

ここでは、ポジション1とポジション2の2つのポジションのみを記入していると想像してみてください。学生を区別するために、順序が重要なので、AからGまでの各文字を割り当てます。一度にA、B、C、D、E、F、Gという7つの選択肢を埋めることができます。学生はすでに配置されています。

一例として、Ａが位置１にあると仮定する。次に、我々の２つの位置について可能な次数は、ＡＢ（すなわち、位置１にＡ、位置２にＢ）、ＡＣ、ＡＤ、ＡＥ、ＡＦ、ＡＧである。ただし、最初のポジションには7つのオプションがあるため、これはすべての注文の可能性を説明するものではありません。したがって、Bが位置1にある場合、可能性としてBA、BC、BD、BE、BF、およびBGがあります。従って私達は私達の選択の数を一緒に掛ける： #7*6 = 42#

最初の問題を振り返ってみると、ポジション1に配置できるのは7人の学生です（ここでも、ポジション1から7まで順番に記入したとします）。ポジション1が満たされると、6人の学生がポジション2に配置されます。ポジション1と2が満たされると、5人はポジション3に配置されます。したがって、オプションの数を掛け合わせると、次のようになります。 #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

の順列の数を見つけるためのより一般的な公式については #n# 撮影したオブジェクト #r# 一度に、 交換なし （つまり、ポジション1の生徒は待合室に戻ってポジション2のオプションになることはありません）、次の公式を使用する傾向があります。

順列数= # "n！" / "（n-r）！"#.

と #n# オブジェクトの数 #r# 埋められるポジションの数 #!# のシンボル 階乗、負でない整数に作用する操作 #a# そのような #a！# = #×（a-1）×（a-2）×（a-3）×…×（1）#

したがって、7人の学生が一度に7人ずつ連れて行かれるという（例えば7つのポジションを埋めることを望んでいる）元々の問題の公式を使うと、

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

直感に反するように思われるかもしれません。 #0! = 1#;しかし、これは事実です。