回答：
#hat（PQR）= cos ^（ - 1）（27 / sqrt1235）#
説明：
二つのベクトルになる #vec（AB）# そして #vec（AC）#:
#vec（AB）* vec（AC）=（AB）（AC）cos（ハット（BAC））#
#=（x_（AB）x_（AC））+（y_（AB）y_（AC））+（z_（AB）z_（AC））#
我々は持っています：
#P =（1; 1; 1）#
#Q =（ - 2; 2; 4）#
#R =（3; -4; 2）#
したがって
#vec（QP）=（x_P-x_Q; y_P-y_Q; z_P-z_Q）=（3; -1; -3）#
#vec（QR）=（x_R-x_Q; y_R-y_Q; z_R-z_Q）=（5; -6; -2）#
そして
#（QP）= sqrt（（x_（QP））^ 2+（y_（QP））^ 2+（z_（QP））^ 2）= sqrt（9 + 1 + 9）= sqrt（19）#
#（QR）= sqrt（（x_（QR））^ 2+（y_（QR））^ 2+（z_（QR））^ 2）= sqrt（25 + 36 + 4）= sqrt（65）#
したがって：
#vec（QP）* vec（QR）= sqrt19sqrt65cos（帽子（PQR））#
#=(3*5+(-1)(-6)+(-3)(-2))#
#rarr cos（ハット（PQR））=（15 + 6 + 6）/（sqrt19sqrt65）= 27 / sqrt1235#
#ラールハット（PQR）= cos ^（ - 1）（27 / sqrt1235）#
